6. Archimedes van Syracuse, 287 v. Chr. – 212 v. Chr. zowel theoreticus als technicus

Er zijn van die geleerden die men alleen nog maar van anekdotes kent zoals Isaac Newton die een appel ziet vallen. Of neem Archimedes die in bad zit, opeens een slim idee krijgt en dan “Eureka!” roept. Van Newton weten de meeste mensen nog wel dat het vallen van de appel hem op het spoor van de zwaartekrachtwetten zette – nee, hij vond toen niet de zwaartekracht uit – maar weet u waarom Archimedes “Eureka!” roept? Dat is omdat hij op dat moment de Wet van Archimedes bedenkt – al heette die wet toen uiteraard nog niet zo.

6 archimedes in badAchimedes in bad. Tekening Johannes Petreius; 1547

De wet luidt ‘de opwaartse kracht die een lichaam in een vloeistof of gas ondervindt is even groot als het gewicht van de verplaatste vloeistof of gas’. Het is de wet die verklaart waarom schepen dankzij het verplaatsen van een voldoende hoeveelheid water kunnen blijven drijven, ballonnen kunnen zweven en de mens kan zwemmen. Voor wat betreft dat laatste, citeer ik even, geheel off topic,  een stukje van de site van ‘ZwemAnalyse.nl’.

Of iets drijft, zinkt of zweeft, hangt van de soortelijke massa af. De soortelijke massa van water is 1 gram per cm3. De soortelijke massa van een mens die zijn adem vasthoudt is gemiddeld 0.97 en door uitademing daalt dit naar gemiddeld 1.03. Alles met een kleinere soortelijke massa dan water drijft (het is lichter dan water), alles met een grotere soortelijke massa dan water zinkt en alles met een gelijke soortelijke massa zweeft. Vissen zijn goed in zweven. Ze hebben ongeveer hetzelfde soortelijk gewicht als water. Met hun luchtblaas reguleren ze de hoeveelheid lucht. Meer lucht = lager soortelijk gewicht = stijgen naar de oppervlakte. Als zwemmer kun je dat ook ervaren. Drijf maar eens op je rug in het water en blaas dan al je lucht uit je longen zonder verder iets te doen. Je merkt dat je daardoor steeds verder onder water zinkt.”

Archimedes hield zich niet alleen bezig met water maar ook met zand. Wist u dat hij een keer heeft berekend hoeveel zandkorrels er nodig zouden zijn om het hele heelal met zand te kunnen vullen? Archimedes noemde dit aantal het zandgetal. Hij deed dit in een werk getiteld ‘De Zandrekenaar’.  “Er zijn mensen, koning Gelon, die denken dat het aantal zandkorrels oneindig in aantal is; en ik bedoel met het zand niet alleen de zandkorrels in de buurt van Syracuse en de rest van Sicilië, maar ook de zandkorrels die men elke regio kan vinden of die nu bewoond of onbewoond is. […] Wat ik echter door middel van meetkundige, voor U volgbare bewijzen, zal proberen aan te tonen is, is dat van de door mij benoemde getallen in het werk, dat ik naar Zeuxippus heb verzonden, sommige getallen, niet alleen het aantal zandkorrels op Aarde, zoals hierboven beschreven, nog overtreft, maar ook die van een massa zandkorrels, gelijk aan de grootte van het gehele universum.” aldus Archimedes in dit werk.

Het berekenen van het aantal zandkorrels om het heelal te kunnen vullen, lijkt niet zo’n nuttige rekenexercitie – en dat is het ook niet – maar voor de ontwikkeling van de wiskunde was deze berekening wel van belang. Want om dat aantal zandkorrels te kunnen berekenen, moest Archimedes eerst een nieuw stelsel van getallen bedenken. Het Griekse getallenstelsel, gebaseerd op het Griekse alfabet, ging namelijk niet ver genoeg. Archimedes kwam daarop met een systeem van tien tot de macht X op de proppen om grote getallen aan te geven. Hij bewees vervolgens onder andere de wet van exponenten, zijnde dat 10a x 10b =10 (a+b).

Volgens de berekening van Archimedes zouden er 8×1063 korrels zand nodig zijn om het gehele heelal met zandkorrels te vullen. Dat is een 8 gevolgd door 63 nullen. Dat is weliswaar een verschrikkelijk groot getal maar bij lange na nog niet groot genoeg.

6 saharaHeel wat zandkorrels in de Sahara, de grootste zandwoestijn op Aarde; foto afkomstig uit The Central Intelligence Agency – The World Factbook – Algeria; 2011

Archimedes maakt echter wat verkeerde aannames. Hij denkt weliswaar terecht dat de aarde om de zon draait en niet andersom – zoals de kerk later in de Middeleeuwen beweert – maar hij denkt ten onrechte dat de zon het middelpunt van een bolvormig heelal is. Ook schat hij de grootte van het heelal fout in. Op basis van zijn verkeerde aannames berekent hij dat het heelal een diameter heeft van ongeveer twee lichtjaren (omgerekend naar de meeteenheden van nu; een lichtjaar, de afstand die het licht in één jaar aflegt, is 9,46 biljoen kilometer) Twee lichtjaren is echter veel te weinig. Zelfs de dichtstbijzijnde ster (dat is Proxima Centaur) staat al op meer dan vier lichtjaren afstand van de Aarde af, waardoor Archimedes het heelal veel te klein inschat en daarmee ook het benodigde aantal zandkorrels.  (Volgens mensen die er verstand van hebben, heeft het zichtbare universum een doorsnee van 90 miljard lichtjaar, en is het niet-zichtbare universum nog veel malen groter.)

Toch is dit rekenwerk een knap stukje werk van Archimedes. De methode die hij bedacht om met grote getallen te rekenen is dan ook één van de redenen dat Archimedes is opgenomen in het overzicht van de mensen achter de computer. De andere reden is dat hij ook op gebied van techniek de mens veel verder heeft gebracht. Er staan een aantal belangrijke uitvindingen op zijn naam, waarvoor hij allerlei slimme radartechnieken bedenkt die nog eeuwenlang gebruikt zullen worden.

Wie is Archimedes van Syracuse?

Archimedes

Dit is Archimedes, althans zo staat hij afgebeeld op de Fieldsmedaille, een wiskundige prijs die om de vier jaar wordt uitgereikt door de International Mathematical Union (IMU). Deze medaille is te beschouwen als de Nobelprijs voor wiskundigen, met als kanttekening dat hij in principe alleen aan wiskundigen onder de veertig jaar wordt uitgereikt. (Er bestaat geen echte Nobelprijs voor Wiskunde; volgens sommige verhalen hield Alfred Nobel een Nobelprijs voor de Wiskunde tegen omdat zijn vrouw een keertje was vreemd gegaan met een wiskundige; mooi verhaal ware het niet dat Nobel nooit getrouwd is geweest.) Voor deze afbeelding van Archimedes op de Fieldsmedaille geldt hetzelfde als voor alle andere bestaande portretten van Archimedes: hij is volledig gebaseerd op de fantasie van de kunstenaar. Er zijn net zoals van Euclides geen historische portretten van Archimedes.

Wat weten we wel van Archimedes? Niet zo veel, hij is geboren in het jaar 287 voor Christus in Syracuse, een kustplaats in het oosten van Sicilië. Nu behoort dit eiland tot Italië maar in de tijd van Archimedes maakt het onderdeel uit van het Groot Griekse rijk en had het een eigen koning. Syracuse is in die tijd één van de grootste steden van het Griekse rijk, naar verluidt even groot als Athene. Archimedes is de zoon van Phidias, een bekende astronoom uit die tijd. Wie zijn moeder was, is onbekend. Ook over zijn jeugd is niet veel bekend.

Op een gegeven moment vertrekt Archimedes als jongeling naar Alexandrië waar hij lessen gaat volgen aan de wiskundige school aldaar. Met veel van zijn collega-studenten zal hij later contact blijven houden. Zo vindt Archimedes het leuk om hen allerlei door hemzelf bedachte wiskundige stellingen op te sturen met de uitdaging om er een bewijs bij te vinden. Als hij echter merkt dat één van zijn vrienden een aantal van deze stellingen vervolgens als eigen werk presenteert, stuurt hij hem opzettelijk een tweetal valse stellingen, die prompt door zijn studievriend als echte stellingen worden geponeerd, iets wat Archimedes in de inleiding van een geschrift over spiralen met veel plezier vermeldt.

Archimedes is in Egypte niet alleen theoretisch bezig maar ook praktisch. Naar alle waarschijnlijkheid heeft hij tijdens zijn studietijd in Alexandrië al het concept van de zogenaamde schroef van Archimedes bedacht. Dit is een handmatig te bedienen pomp, waarmee men water omhoog kan pompen,  heel handig voor irrigatieprojecten. De pomp kan ook gebruikt worden om water uit ruimtes zoals scheepsruimen te pompen. Het apparaat bestaat uit een holle buis, waarin een schroef zit. De schroef heeft een speciale vorm, waardoor het water niet kan terug lopen. Vooral voor de landbouw in het droge Egypte is het een zeer nuttig hulpmiddel.

Het apparaat wordt zelfs vandaag de dag nog steeds op diverse plaatsen in de wereld gebruikt. Een grotere versie, een vijzel gebaseerd op de schroef van Archimedes, is in Nederland eeuwenlang gebruikt om polders leeg te pompen.

archimedse schroefarchimedse vijzel

Links: De schroef van Archimedes; afbeelding afkomstig uit Chambers’s Encyclopedia (Philadelphia: J. B. Lippincott Company, 1875; bron: Wikipedia; Rechts:  Een houten Archimedes-vijzel bij de molen ‘Het Noorden’ op Texel, foto Rasbak; Wikipedia

Na zijn tijd in Alexandrië keert Archimedes terug naar Syracuse. Hij zal er de rest van zijn leven blijven wonen. Hij gaat er werken voor koning Hieron II (308-215 voor Christus). Volgens sommige bronnen is hij zelfs familie van hem. Of Archimedes getrouwd is en/of kinderen heeft, is niet bekend. Aanvankelijk houdt hij zich vooral bezig met de wetenschap.

Zo bedenkt hij onder andere een methode om de inhoud en het oppervlakte van cilinders en bollen te berekenen. De methode die hij hiervoor bedenkt kan men beschouwen als een voorloper van de integraalrekening. Ook berekent hij de waarde van het getal π, de constante die het verband aangeeft tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Volgens Archimedes moest π een waarde hebben die ligt tussen 31⁄7 (dat is afgerond 3.143) en 310⁄71 (dat is afgerond 3.141). Gezien het feit dat π een waarde heeft van afgerond 3.1416 is dat zeker voor die tijd een goede inschatting.

Niet alleen in de wiskunde blinkt Archimedes uit, ook in de mechanica. Zo geeft hij een wetenschappelijke verklaring voor de werking van de hefboom (arm × gewicht = constant aan beide zijden van het draaipunt.) Hij zet deze kennis om in praktische toepassingen. Zo bedenkt Archimedes een zeer effectieve methode om boten met hulp van een hefboom in en uit het water te krijgen. Tot dan zijn er vele arbeiders nodig die een enorme krachtsinspanning moeten leveren om een boot uit het water te trekken. Dankzij de ‘hefboom van Archimedes’ gaat dit een stuk gemakkelijker. Een beroemde uitspraak van Archimedes die hij in dit verband gezegd zou hebben, luidt: “Geef mij een steunpunt en ik verplaats de aarde”.

Archimedis hefboom

Archimedes die de aarde verplaatst. Tekening uit het Mechanics Magazine; Londen 1824.

Het meest bekende verhaal over Archimedes is het Eureka-verhaal. Op een dag komt koning Hieron II bij hem. Hij heeft een goudsmid de opdracht gegeven om van een bepaalde hoeveelheid goud een gouden kroon te maken. Maar als de koning de kroon in ontvangst neemt, krijgt hij argwaan. De kleur van de kroon is lichter dan dat hij had verwacht. Hij vreest dat de goudsmid het goud stiekem heeft vermengd met zilver. Maar om dat te kunnen controleren moet hij de kroon doorzagen en dat wil hij niet. Of Archimedes geen methode weet om er achter te komen of de goudsmid het goud heeft vermengd met zilver of niet?

Archimedes gaat over het probleem nadenken. Hij neemt een bad en terwijl hij in bad zit, realiseert hij zich opeens dat een voorwerp onder water minder weegt dan boven water, hetgeen verklaard kan worden doordat het voorwerp in de vloeistof een opwaartse kracht ondervindt. Hij bedenkt dan dat die kracht even groot moet zijn als het gewicht van de verplaatste hoeveelheid vloeistof.

Deze opwaartse kracht (nu Archimedeskracht genoemd) is gelijk aan de massadichtheid (soortelijk gewicht) x het volume van het voorwerp x de valversnelling (‘g’ = 9,81 m/s² op Aarde). Tegenwoordig staat dit bekend als de Wet van Archimedes. Hij geldt ook voor gassen. Zie hieronder de wet toegelicht – vraag niet hoe het kan maar profiteer ervan.

4 archimedes water

We zien hier een simpele test. Een voorwerp van 7 kg wordt twee keer gewogen. Eén keer boven de waterbak, dan geeft de weegschaal een gewicht aan van 7 kg, en één keer als het voorwerp zich in het water bevindt. Als je het voorwerp in het water laat zakken, dan stroomt er in dit model water via de overloop uit de bak. Als je nu het voorwerp in het water weegt, dan weegt het volgens de weegschaal nog maar 4 kg. Het verschil is toevallig, nou ja niet toevallig dus, even groot als het gewicht (3 kg) van het weggestroomde water. Nu heeft het voorwerp, ook al bevindt het zich onder het water, uiteraard geen gewicht verloren, dus moet er een opwaartse kracht van 3 kg onder het voorwerp zijn die het omhoog duwt, waardoor de weegschaal maar een gewicht van 4 kg aangeeft. Die kracht is even groot als het gewicht van de verplaatste hoeveelheid vloeistof en voilà, zie hier de Wet van Archimedes.

(Cruijff zou zeggen: “Uitleggen is heel simpel, maar het moeilijkste wat er is, is simpel uitleggen. “Oké, in werkelijkheid had Cruijff het niet over uitleggen maar over voetballen, maar toch. Voor het geval ik het te simpel heb uitgelegd en u het niet snapt, citeer ik nogmaals Johan Cruijff: “Als ik zou willen dat je het begreep, zou ik het beter hebben uitgelegd.”)

We gaan verder met Archimedes die in bad zit. Opeens realiseert hij zich dat hij met deze wetenschap kan bepalen of de goudsmid wel of niet zilver in de kroon heeft verwerkt. Goud (19,2 g/cm³) heeft namelijk een hogere soortgelijk gewicht dan zilver (10,5 g/cm³). Een kroon van puur goud heeft daardoor een soortelijk gewicht dat hoger is dan een even zware kroon waarin stiekem zilver is in verwerkt. Daarmee kan hij dankzij zijn net ontdekte wet controleren of er zilver in de kroon is verwerkt. Door de kroon en een hoeveelheid puur goud met hetzelfde gewicht als de kroon allebei eerst boven water te wegen – waarbij ze dan even veel moeten wegen – en daarna ze ook allebei onder water te wegen, kan hij zien of de kroon van alleen goud is gemaakt of dat de kroon ook een hoeveelheid (lichter) zilver bevat.

archimedes test

Boven water wegen de kroon en een bepaalde hoeveelheid goud evenveel. Dat zou onder water ook moeten zijn. (Een eventueel verschil kan ook worden geconstateerd door te kijken naar de hoeveelheid water die via een overloop uit een bak met water stroomt.) De uitkomst van de test laat zien of in de kroon ook het lichtere zilver is verwerkt. Afbeeldingen Tonyle; Wikipedia.

Volgens de overlevering roept Archimedes nadat hij dit heeft bedacht luidkeels “Eureka!”, springt uit bad en rent ondertussen steeds maar “Eureka, eureka” (“Ik heb het, ik heb het”) roepend bloot door de straten van Syracuse naar de koning toe.

6 archimedes rent door de straatEureka! Archimedes op weg naar de koning. Tekening van Giammaria Mazzuchelli uit 1737

De test wordt uitgevoerd. Boven water wegen de kroon en het goud even veel, maar onder water “weegt” de kroon minder dan het goud. De goudsmid probeert de koning inderdaad op te lichten maar de wetenschap ontmaskert hem. (Of Archimedes daadwerkelijk bloot door de straten heeft gelopen ondertussen Eureka roepend, daar kan je wel wat vraagtekens bij stellen. Pas twee eeuwen later beschrijft een zekere Vitruviu, een Romeinse architect, het verhaal voor het eerst (in ‘Architectura’, een verhandeling over architectuur.)

De wet van Archimedes verklaart ook waarom schepen kunnen drijven. Je moet zorgen dat je voldoende opwaartse kracht hebt die het effect van de zwaartekracht neutraliseert. De opwaartse kracht hangt af van het volume van de boot en het (soortelijk) gewicht van de boot, inclusief lading. Een te kleine, te zwaar beladen boot zinkt als een baksteen. Duikboten maken met behulp van tanks ook gebruik van de wet van Archimedes. Door het soortgelijk gewicht te veranderen kunnen ze dalen dan wel stijgen. Dit werkt ook voor luchtballonnen. En nu we toch volkomen afdwalen, de wet verklaart ook waarom ijsbergen voor 89% onder water liggen; dat heeft te maken met verschil van het soortelijk gewicht van het zoete water van de ijsberg en het zoute zeewater.

Archimedes schrijft twee boeken over krachten die werken op in water drijvende voorwerpen. De originele Griekse teksten van zijn boek zijn verloren gegaan. Er bestaan alleen nog maar latere versies in het Latijn, althans dat dacht men tot 1907. Toen werd er een palimpsest – dat is een hergebruikt perkament; men schreef een nieuwe tekst over een oude tekst heen (perkament is kostbaar) – uit de dertiende eeuw ontdekt. Onder de tekst van een godsdienstig boekwerk is op het perkament een oude Griekse tekst zichtbaar die uit de tiende eeuw stamt en die op zijn beurt weer een kopie is van teksten van Archimedes. Dit stuk permanent staat thans bekend als ‘De Archimedespalimpsest’.

4 archimedes boekEen pagina uit de palimpsest. Op deze pagina gaat het over de drijvende lichamen. De wat vage horizontale lichtere tekst is de oude historische tekst. De verticale tekst de latere godsdienstige tekst.

De tekst stamt uit de tiende eeuw. Het is op zijn beurt een heruitgave van een werk uit de vijfde eeuw, vermoedelijk geschreven door Isidorus van Miletus (442-535). Deze kennen we vooral als één van de architecten van de Hagia Sophia in Instanbul. Waar Isidorus van Miletus de originele Griekse tekst van Archimedes vandaan heeft gehaald, is niet bekend, maar in de tekst staat onder andere de drijvende lichamen theorie. Ook bevat de tekst een beschrijving van de ‘mechanische stellingen’ van Archimedes en ook nog een uitgebreide beschrijving van de Stomachion-puzzel, maar daar komen we verderop nog op terug.

Behalve om zijn wetenschappelijke theorieën is Archimedes ook bekend om de vele machines en apparaten die hij bedenkt en construeert. Veel van deze uitvindingen zijn oorlogswerktuigen. Tijdens de tweede Punische oorlog tussen Rome en Carthago – deze duurde van 218 v. Chr. tot 201 v. Chr. – kiest Syracuse na de aanvankelijke successen van Hannibal en zijn olifanten de kant van Carthago en niet die van Rome. (Tijdens de eerste Punische oorlog staat Syracuse nog wel aan de kant van Rome en laten de Romeinen en de Syracusen elkaar met rust).

Nadat het tij in de strijd tussen Hannibal en de Romeinen ten gunste van de Romeinen keert, vallen de Romeinse legers in 214 voor Christus Syracuse aan. Ondanks een overtal aan schepen lukt het de Romeinen echter niet om de havenstad te veroveren. Dit is grotendeels te danken aan Archimedes die allerlei bijzondere oorlogswerktuigen bedenkt om de vijandelijke schepen te bestrijden.

Zo is daar bijvoorbeeld een reuzekatapult, waarmee men grote rotsblokken afschiet naar de vijandelijke schepen. Ook bedenkt hij de zogenaamde klauw van Archimedes. Dit is een soort hijskraan waarmee de vijandelijke schepen die te dicht bij de kust komen met behulp van een enterhaak, en gebruik makend van het hefboomeffect, kunnen worden opgetild en vervolgens op de rotsen of op hun zij in het water worden gegooid.

Archimedes klauwDe klauwen van Archimedes aan het werk; afbeelding uit een achttiende-eeuws boekwerk.

Het beroemdst zijn de grote zonnespiegels waarmee met hulp van het zonlicht vijandelijke schepen in brand zouden zijn gestoken. Of al deze apparaten daadwerkelijk hebben bestaan, is echter hoogst onzeker. Het Amerikaans tv-programma Mythbusters heeft tot twee keer toe geprobeerd of het met behulp van zonnespiegels mogelijk is om een houten schip in brand te steken.

Archimedis spiegelMuurschildering uit het jaar 1600 van Giulio Parigi; Uffizi Gallery, Stanzino delle Matematiche, in Florence

Dit lukt alleen als een schip heel lang en heel stil op een plaats blijft liggen. Ook moeten de spiegels een doorsnede hebben van liefst elf meter. Kortom, niet erg waarschijnlijk. Maar ook zonder zijn klauw en de zonnespiegels hebben de Romeinen het zo lastig met Syracuse en de wapens van Archimedes, dat ze besluiten de stad niet vechtend te veroveren maar dat ze de inwoners van de stad gaan uithongeren, net zo lang totdat de Syracusen te verzwakt zijn om de stad te verdedigen.

Twee jaar later, in 212 voor Christus, is het zover. De Romeinen trekken de stad binnen. Eén van de Romeinse soldaten loopt het huis van Archimedes binnen. Deze is net bezig om wat cirkels in het zand te tekenen en als de Romein hier doorheen loopt, roept Archimedes volgens de overlevering kwaad: “Verstoor mijn cirkels niet!”. Daarop steekt de soldaat met zijn zwaard de 75-jarige Archimedes dood, wat geheel tegen het uitdrukkelijk bevel van de Romeinse bevelhebber Marcus Marcellus in is, die een groot bewonderaar is van Archimedes en hem en zijn oorlogswerktuigen naar Rome wil halen.

Archimedes krijgt een ereplaats op de grote begraafplaats van Syracuse. Op zijn graf wordt een beeld geplaatst van een bol in een cilinder. Archimedes zelf beschouwde zijn ontdekking van de verhouding tussen het volume van een bol en een cilinder als zijn belangrijkste bijdrage aan de wetenschap. Cicero, de Romeinse redenaar, bezoekt het graf van Archimedes in 75 v. Chr. en vermeldt in zijn geschriften de afbeelding van een cilinder met een bol er in.

Veel van zijn geschriften, modellen en apparaten nemen de Romeinen mee terug naar Rome, waaronder een door Archimedes – hij is ook een deskundig astronoom – gemaakt ‘planetarium’. Het geeft aan hoe de toen vijf bekende planeten (Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus) en de zon en de maan zich langs de sterrenhemel bewegen. Cicero beschrijft bijna twee eeuwen later dit apparaat met grote bewondering in één van zijn geschriften. Vanwege dit apparaat wordt Archimedes door sommigen ook wel eens genoemd als de mogelijke bouwer van het mechanisme van Antikythera (zie daarvoor het verhaal over dit apparaat), maar dat lijkt niet aannemelijk.

Tot slot, in een speelgoedwinkel kan je de zogenaamde Archimedes-puzzel tegenkomen, ook wel een ‘Stomachion’ genoemd. Dat is een puzzel die bestaat uit veertien verschillende veelhoeken die, mits je ze op een bepaalde manier legt, samen een vierkant vormen. In de ‘Archimedespalimpsest’ wordt de puzzel uitgebreid beschreven. Zie hier de losse stukken en twee voorbeelden hoe je met de stukken een vierkant kan vormen.

Archimedes. puzzel

Archimedes. puzzel. oplossingDe afzonderlijke stukken en twee mogelijke oplossingen om er een vierkant van te maken. bron RosarioVanTulpe; Wikipedia

Niet duidelijk is of Archimedes de puzzel zelf heeft bedacht of dat hij alleen maar geïnteresseerd was in hoeveel manieren de puzzel opgelost kan worden. Dat zijn er liefst 17.152 (dat heeft een computer berekend), maar als je alle gespiegelde en gedraaide versies niet meetelt, dan zijn het er 536. Mocht u uw hoofd breken over deze puzzel, weet dan dat Archimedes dit ook heeft gedaan.

Naar het volgende verhaal uit deze serie.

Naar het vorige verhaal uit deze serie

EDIT

My WordPress Blog