Weet u wat het oudste boek ter wereld is dat nog steeds wordt herdrukt? Als u denkt dat dit misschien de Bijbel is, dan heeft u het mis. Hoogstwaarschijnlijk zijn de twee oudste boeken die nog steeds worden herdrukt ‘de Ilias’ en ‘de Odyssee’, beide geschreven door Homerus. De ouderdom van deze twee boeken wordt op zo’n 2700 jaar geschat. Ook is er een meetkundeboek van zo’n 2300 jaar oud, getiteld ‘De Elementen’, geschreven door Euclides van Alexandrië, dat nog steeds wordt herdrukt. Wel is de Bijbel het boek dat in de westerse wereld het vaakst is herdrukt. Al zijn de duizend herdrukken van de Elementen natuurlijk ook niet mis.

Afbeelding: teruggevonden fragment van één van de delen van de Elementen van Euclides van Alexandrië. Er is geen originele door Euclides geschreven tekst van de Elementen bewaard gebleven. Deze handgeschreven kopie stamt waarschijnlijk uit de eerste eeuw na Christus. Het fragment bevindt zich in het Museum of Archaelogy and Anthropology van de University of Pennsylvania; foto Bill Casselman

Waarschijnlijk heeft u nog nooit van ‘De Elementen’ gehoord, maar wellicht kent u wel de uitdrukking ‘Quod erat demonstrandum’ (Q.E.D.) ofwel ‘Wat te bewijzen was’ (WTBW), waarmee vaak een bewijs van een wiskundige stelling wordt afgesloten. Deze zinsnede is voor het eerst te lezen – uiteraard niet in het Latijn maar in het oude Grieks – in de Elementen van Euclides (om exact te zijn in het eerste deel bij stelling 4). Dit is echter niet de reden dat Euclides is opgenomen in het overzicht van mensen achter de computer.

De reden daarvoor is tweeledig. Ten eerste is hij de eerste in de geschiedenis die alle op dat moment bekende wiskundige kennis samenbrengt in één boek. Daarnaast beschrijft hij in één van de delen van de Elementen een methode om de grootste gemene deler – dat is niet iemand die in een casino werkt maar een wiskundige begrip – te vinden. De door hem beschreven methode kunnen we zien als het oudste beschreven voorbeeld van een algoritme, een reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd doel leidt. Iets wat je in alle softwareprogramma’s van computers en laptops terugziet.

Wie is Euclides van Alexandrië?

De exacte geboortedatum van Euclides van Alexandrië is onbekend. Sterker nog, er is zelfs geen zekerheid over zijn geboortejaar, het decennium of zelfs de eeuw waarin hij leefde. Volgens een zekere Proclus Diadochus, een Griekse filosoof en wiskundige – hij leefde in de vijfde eeuw na Christus en geldt als de belangrijkste historische informatiebron ten aanzien van de persoon Euclides – leefde Euclides in de tijd van Ptolemaeus I Soter. Deze Egyptische koning regeerde van 323 tot 285 voor Christus over Egypte. In ieder geval leefde Euclides eerder dan Archimedes, want in één van diens geschriften citeert deze ‘de Elementen’ van Euclides. Aangezien Archimedes leefde van 287 voor Christus tot 212 voor Christus zou het inderdaad kunnen dat Euclides in de vierde eeuw voor Christus leefde ten tijde van Ptolemaeus I.

Over de persoon Euclides weten we heel weinig. Hij zou zijn opleiding tot wiskundige hebben genoten aan de Akademeia, de beroemde leerschool in Athene, welke in 387 voor Christus is opgericht door Plato. Euclides zou later naar Egypte zijn vertrokken, waar hij het hoofd zou zijn geweest van de Wiskunde School van Alexandrië. Aangezien deze Egyptische stad in 330 voor Christus werd gesticht, past dit in het beeld dat hij geleefd zou hebben ten tijde van koning Ptolemaeus I. Veel meer weten we niet over Euclides (en of het bovenstaande klopt is dus ook niet helemaal zeker.)

Hoe hij er uitzag, is ook volkomen onbekend. Dat vormt echter voor veel schilders en beeldhouwers geen enkele belemmering om hem af te beelden. In de loop van de eeuwen zijn er allerlei portretten van Euclides geschilderd dan wel gebeeldhouwd, stuk voor stuk ontsproten uit de fantasie van de schilder en de beeldhouwer. Zie hier acht voorbeelden van hoe kunstenaars denken dat Euclides er uit gezien zou kunnen hebben.

Allemaal portretten van Euclides. Kiest u maar. Rechtsonder is het standbeeld van Euclides te zien dat staat in het Oxford University Museum of Natural History. Je zou zeggen dat zo’n gerenommeerde universiteit beter zou moeten weten. Iemand afbeelden zonder dat je weet hoe hij er daadwerkelijk uit heeft gezien, is niet wetenschappelijk en geheel tegen de geest van Euclides in. “Waar is het bewijs?” zou Euclides zeggen.

Euclides staat ook op het beroemde fresco ‘De School van Athene’, dat Rafael in 1509 in het Vaticaan schildert voor paus Julius II

Euclides is op dit fresco te zien als de man met het rode gewaad in de gele cirkel – de cirkel is uiteraard een toevoeging van mij aan het fresco; niet van Rafael. De twee centrale figuren in het midden van het fresco – de man met het blauwe gewaad en de man links daarvan met het rode gewaad – moeten Aristoteles en Plato voorstellen.

Euclides maakt hier zijn eigen cirkel

Enfin, hoe Euclides er uit heeft gezien weten we dus niet, maar waar Euclides van Alexandrië heeft gewerkt – what’s in a name – natuurlijk wel: in Alexandrië. Volgens Proclus Diadochus was hij daar als pensionaris in dienst van koning Ptolemaeus I Soter. Een pensionaris in die tijd is iemand die zich op kosten van de koning volledig aan de wetenschap kan wijden. Nadat in 323 v. Chr. Alexander de Grote overlijdt en diens rijk uiteen valt, regeren verschillende van zijn generaals over delen ervan. Ptolemeos I Soter, één van de veldheren van Alexander de Grote, wordt koning van Egypte.

Ptolemeos besluit dat Alexandrië, de stad waar het graf van Alexander de Grote zich bevindt en de stad die naar Alexander de Grote is vernoemd, het middelpunt van de Griekse beschaving moet worden. Hij geeft daarom de voormalige Atheense stadsbestuurder Demetrius van Phalerum opdracht om in Alexandrië een cultuurcentrum, het Museion, te stichten. De Grote Bibliotheek is hier een onderdeel van. Aan de bibliotheek wordt tevens een wiskundige school gekoppeld. Ptolemeos zorgt voor het benodigde geld en Demetrius ‘verzamelt’ de geleerden en de boeken. Bij ‘boeken’ moet je in dit geval denken aan papyrusrollen. Vanuit alle delen uit het Griekse rijk komen geleerden, samen met hun boeken en geschriften, naar Alexandrië. Het is een beetje een kip en ei verhaal. Doordat er zoveel boeken zijn, komen de geleerden naar Alexandrië toe en doordat er zoveel geleerden zijn, komen er telkens meer boeken en wordt de bibliotheek steeds groter.

 

Links een oud beeld van Ptolemeos I (uit de collectie van het Louvre) en rechts een nieuw beeld van Demetrius bij de huidige bibliotheek van Alexandrië (foto Paheka).

Demetrius is een oud-leerling van Aristotelis. Hij neemt na de dood van Aristotelis diens boekencollectie mee naar Alexandrië. Zijn ambitie is om alle kennis van de wereld in Alexandrië bijeen te brengen. Demetrius verzamelt daarom fanatiek geschriften. Volgens de overlevering wordt iedere handelskaravaan en elk schip dat Alexandrië aandoet doorzocht op de aanwezigheid van onbekende boeken. Worden deze gevonden, dan worden ze gevorderd. De boeken worden vervolgens overgeschreven en de oorspronkelijke eigenaars krijgen daarna de kopie, het origineel belandt in de bibliotheek.

Een andere beroemde anekdote verhaalt over kopieerders die Demetrius naar Athene stuurt om de daar aanwezige originele boeken van de Griekse tragedieschrijvers over te schrijven. Pas nadat de kopieerders hun werk hebben gedaan en zijn teruggekeerd in Alexandrië, komen de Atheners erachter dat de bezoekers de originelen hebben meegenomen naar Egypte. In Athene hebben ze de kopieën achtergelaten. Ook worden er kopers op pad gestuurd naar Europa en India om zoveel mogelijk boeken te kopen en/of te kopiëren.

Op haar hoogtepunt, zo halverwege de 1e eeuw voor Christus, omvat de bibliotheek naar schatting zo’n 400.000 tot 500.000 ‘boeken’. De schattingen lopen overigens wel ver uiteen, van 40.000 tot 700.000 boekrollen, verspreid over meerdere gebouwen. Ze zijn georganiseerd in categorieën zoals retoriek, recht, epos, tragedie, poëzie, geschiedenis, geneeskunde, wiskunde en overige wetenschap. Als een auteur niet duidelijk kan worden toegewezen aan een van deze vakgebieden, dan komt het werk in de afdeling “Diversen”.

Negentiende-eeuwse impressie van de Bibliotheek, gebaseerd op oude verhalen hoe de bibliotheek er vroeger uit heeft gezien.

Na de komst van de Romeinen gaat het langzaam maar zeker bergafwaarts met de bibliotheek. Bij de veldtocht van Julius Caesar in Egypte in 48 voor Christus raakt één van de gebouwen van de bibliotheek in brand en een aantal historische boeken gaat in de vlammen op. Dit verlies wordt nog opgevangen door Marcus Antonius die zijn geliefde Cleopatra de bibliotheek van Pergamon schenkt die duizenden boekrollen omvat.

Van links naar rechts: Julius – “Sorry voor de brand” – Ceaser; Marcus – “Wat wil je voor je verjaardag?” – Antonius, en Cleopatra – “Doe maar een boek”

In de eerste vier eeuwen na Christus gaat de bibliotheek – die inmiddels niet alleen boeken geschreven op papyrus maar ook boeken geschreven op perkament omvat – steeds verder achteruit. Papyrusrollen gaan mede door het vochtige klimaat in Alexandrië niet langer dan zo’n 100 tot 300 jaar mee en moeten dan opnieuw worden overgeschreven. De Romeinen investeren echter geen geld in de bibliotheek en andere bibliotheken nemen steeds vaker de rol over van de bibliotheek van Alexandrië. Ook onregelmatige gevechten om de stad doen de bibliotheek geen goed. Ergens in de vierde eeuw na Christus “verdwijnt” de bibliotheek.

Maar goed, terug naar Euclides. Het is in Alexandrië dat Euclides de Elementen samenstelt. Hierin brengt hij alle op dat moment bekende wiskunde samen. Het boek zou in eerste instantie bedoeld zijn voor zijn leerlingen. “De meeste ideeën over onderwijs zijn niet nieuw, maar niet iedereen kent de oude ideeën.” – zo schrijft Euclides in één van zijn geschriften.

Ook koning Ptolemaeus verdiept zich in de Elementen. Proclus Diadochus komt met de anekdote op de proppen dat Ptolemaeus een keer aan Euclides zou hebben gevraagd of hij, de koning zijnde, de meetkunde niet op een wat gemakkelijkere manier kan leren dan door het bestuderen van ‘de Elementen’. Hierop zou Euclides geantwoord hebben: “Er is geen koninklijke weg naar de meetkunde.” Of deze anekdote waar is, is echter maar de vraag, want Proclus Diadochus – de bron voor dit verhaal – leefde ruim zeven eeuwen na Euclides, dus de vraag is gerechtvaardigd hoe betrouwbaar zijn informatie is. Vergelijk het met iemand die opeens allerlei nieuwe anekdotes over Willem van Oranje vertelt: “Stil type, zei nooit zo veel.”

Euclides dankt zijn faam aan de ‘Elementen’. In dit verzamelwerk – ze bestaan uit liefst dertien delen; hij schrijft daarnaast nog minimaal vijf andere boeken, onder andere over optica, muziektheorie (toonhoogtes e.d.), astronomie en een boek over drogredenen – staan bewijzen voor liefst 465 wiskundige stellingen. Deels zijn het stellingen die hij zelf heeft bedacht, deels zijn het stellingen van anderen.

Hij begint de boeken met een aantal wiskundige definities (in totaal staan er in de Elementen 131 definities), daarna volgt een vijftal postulaten (ook wel axioma’s genoemd; uitgangspunten) en een vijftal algemeenheden (stellingen die waar zijn maar die niet bewezen kunnen worden).

Nederlandstalige versie van de Elementen uit 1617; foto Frans van Schooten Sr.; Wikipedia

Om wat duidelijkheid te geven over de manier van werken en denken van Euclides, gooien we er nu even een stukje wiskunde tegen aan. Wees echter niet bang, het is geen hogere wiskunde en zoals Albert Einstein al eens zei: “Maak je geen zorgen als je problemen met wiskunde hebt. Ik kan je verzekeren dat mijn problemen veel groter zijn.” Desnoods doet u uw ogen even dicht.

We beginnen met wat enkele voorbeelden van wat definities zoals Euclides die opneemt in de Elementen.

• Een punt is datgene wat geen deel heeft.
• Een lijn is lengte zonder breedte.
• De uiteinden van een lijnstuk zijn punten.
• Een vlak is wat alleen lengte en breedte heeft.
• Een cirkel is een vlakke figuur, omvat door een lijn, zodanig dat alle rechten die van een binnen deze figuur gelegen middelpunt tot deze lijn neerdalen overal gelijk zijn.
• Parallelle lijnen zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen zijn en die als ze naar weerszijden tot in het oneindige worden verlengd, aan geen van beide zijden elkaar zullen ontmoeten.

Klinkt allemaal logisch. In zijn boek definieert hij nog 125 andere zaken maar die zal ik u besparen. Dan de postulaten, dat zijn er gelukkig maar vijf. Deze luiden:

• Twee punten kunnen verbonden worden door een rechte lijn.
• Elke rechte lijn kan eindeloos als rechte lijn uitgebreid worden.
• Bij een gegeven middelpunt en een gegeven straal kan een cirkel beschreven worden.
• Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.
• Door een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdig aan die lijn. (Dit zogenaamde ‘parallellenpostulaat’ is een latere versimpeling van het oorspronkelijke vijfde postulaat van Euclides. Zijn versie was wat ingewikkelder geformuleerd.) Lang – een of andere Fransman is er zelfs dertig jaar mee bezig geweest – heeft men gedacht dat dit postulaat af te leiden moest zijn uit de eerste vier postulaten van Euclides maar dat blijkt niet te bewijzen te zijn.

Tot slot van deze wiskundeles nog de vijf ‘algemeenheden’ van Euclides. Dat zijn aannames waarvan iedereen vindt dat ze waar zijn, maar die we niet kunnen bewijzen. Vrij vertaald zijn dit de vijf algemeenheden van Euclides:

• Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde zijn gelijk aan elkaar. (Als A gelijk is aan C, en B is gelijk aan C, dan is A gelijk aan B)
• Als men aan gelijke dingen gelijke dingen toevoegt, dan zijn de totalen ook gelijk. (Als A gelijk is aan B, dan is A+C gelijk aan B+C).
• Als men van gelijke dingen gelijke dingen afneemt, dan zijn de resten ook gelijk. (Als A gelijk is aan B, dan is A-C gelijk aan B-C)
• Dingen die elk op elkaar passen zijn gelijk. (Als figuur A op figuur B past, en figuur B op A past, dan zijn de figuren gelijk)
• Het geheel is groter dan een deel van het geheel. (A+B is groter dan A)

De niet-wiskundigen onder u kunnen de ogen nu weer open doen. Met behulp van de definities, de vijf postulaten en de vijf algemeenheden bewijst Euclides vervolgens op een deductieve manier alle wiskundige stellingen die hij opneemt in de Elementen. Deze manier van denken en werken heeft eeuwenlang wetenschappers beïnvloed, waaronder Copernicus, Newton, Descartes, Spinoza en Einstein.

Deze laatste verklaarde bijvoorbeeld dat er in zijn jeugd twee momenten zijn die wetenschappelijk gezien grote indruk op hem hebben gemaakt. De eerste keer is het moment dat hij op vijfjarige leeftijd een kompas van zijn vader krijgt. Dat een naald altijd naar het noorden blijft wijzen, leert hem dat er geheimzinnige krachten zijn die om een verklaring vragen. De tweede keer is als hij op twaalfjarige leeftijd een boekje krijgt over de werkwijze van Euclides.

Albert Einstein op 14-jarige leeftijd.

Zie bijvoorbeeld ook deze twee uitspraken die Einstein over Euclides deed:

“Hier waren beweringen . . . die – hoewel zeker niet evident – toch met zo’n zekerheid kon worden bewezen dat elke twijfel uitgesloten leek. Deze helderheid en zekerheid maakten een onbeschrijfelijke indruk op mij. . .”, aldus Einstein over ‘De Elementen’

En:  “Als Euclides je jeugdige enthousiasme niet heeft aangewakkerd, dan ben je niet geboren om een ​​wetenschappelijk denker te zijn.”  – aldus Einstein in zijn essay ‘On The Method of Theoretical Physics’; 1934

Het leert Einstein dat je theorieën moet onderbouwen en bewijzen vanuit logische aannames of zoals Euclides het zelf in zijn geschriften schrijft: “Wat zonder bewijs beweerd wordt, kan ook zonder bewijs ontkend worden.”

Euclides heeft zoals al gezegd niet alle stellingen in de Elementen zelf bedacht. Het werk omvat ook meerdere stellingen van Pythagoras (deze leefde ruim twee eeuwen voor Euclides; ca. 570 – 495 voor Christus) en anderen. Zo is stelling I.47 in de Elementen de beroemde A² + B² = C² stelling van Pythagoras. (‘In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.’).

Ook omvat ‘de Elementen’ stellingen die bedacht en bewezen zijn door Hippocrates van Chios (ca. 470–410 voor Christus) en Eudoxus van Cnidus (ca. 408–355 voor Christus). Een beetje oneerbiedig zou je kunnen zeggen dat we ‘de Elementen’ kunnen beschouwen als de Wiskunde-Wikipedia van de oudheid. Het is niet duidelijk of Euclides de Elementen in zijn eentje heeft geschreven of dat er sprake was van meerdere auteurs en dat zijn naam aan het werk is verbonden, omdat hij het hoofd is van de wiskundige school van Alexandrië.

De boeken van Euclides hebben een opbouw alsof ze in de moderne tijd geschreven zijn en vormen een mijlpaal in de wiskundige geschiedenis. Dit alles is echter niet de enige reden dat Euclides is opgenomen in dit overzicht van de mensen achter de computer. Een andere reden is namelijk dat de Elementen het oudst bewaard gebleven werk is, waarin een algoritme wordt beschreven. Een algoritme is een reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd doel leidt. Iets wat je ook in alle moderne softwareprogramma’s ziet. Het betreffende algoritme staat in de Elementen in deel 1 (bij stelling 4). Het laat zien hoe je de grootste gemene deler van twee getallen kan bepalen.

Leeswaarschuwing: de volgende regels bevatten een stukje simpele wiskunde waarin het oudste opgeschreven algoritme wordt uitgelegd. De reden dat het algoritme hier beschreven wordt, is dat dit algoritme nu eenmaal het oudst beschreven algoritme uit de geschiedenis is. Degenen die allergisch zijn voor cijfers kunnen dit deel echter met een gerust hart overslaan en weer verder gaan met lezen na de woorden ‘einde leeswaarschuwing’. Weet wel dat u dan een historisch algoritme mist en om met Aristoteles te spreken: “De wortels van onderwijs zijn bitter, maar de vrucht is zoet.”

Dan nu dus het algoritme. De grootste gemene deler van twee getallen is het grootste positieve gehele getal, waar beide getallen door gedeeld kunnen worden zonder dat er een rest overblijft. Een voorbeeldje: de grootste gemene deler van 14 en 21 is 7. Het algoritme (een stappenplan) dat Euclides beschrijft om de grootste gemene deler van twee willekeurige getallen te vinden, werkt als volgt.

• Stap 1: Noem het grootste van de beide getallen A, het andere B.
• Stap 2: Trek B net zo vaak van A af totdat er 0 overblijft of een getal C dat kleiner is dan B; wanneer er na deze stap exact 0 overblijft, dan is B de grootste gemene deler. Anders ga verder met stap 3.
• Stap 3: Indien C kleiner is dan B maar niet 0, herhaal dan het algoritme met de getallen B en C.

Een voorbeeldje: stel je bent op zoek naar de grootste gemene deler van de getallen 85 en 34.

• Stap 1: A = 85; B = 34;
• Stap 2: 85-34 = 51; Het getal 51 is groter dan 34 dus stap 2 wordt herhaald: 51-34 = 17; Het getal 17 is kleiner dan 34 maar niet 0; er wordt overgegaan naar stap 3 met B = 34 en C = 17.
• Stap 3: 34-17 = 17 en nogmaals 17-17 = 0. Er blijft exact 0 over, oftewel 17 is de grootste gemene deler van 85 en 34.

Tegenwoordig zijn er snellere methodes bedacht om de grootste gemene deler van twee getallen te vinden. In computertaal zou het algoritme van Euclides er zo uit kunnen zien:

Euclides zou zeggen:  “Quod erat demonstrandum.” – “Wat te bewijzen was.” Einde leeswaarschuwing.

Het dagelijks leven zit overigens vol met algoritmes. Neem bijvoorbeeld een kookboek. “Schil de aardappels, was ze en zet ze met water op. Voeg wat zout toe en laat het 20 minuten koken. Prik er met een vork in en kijk of ze gaar zijn. Zo ja, giet ze af en laat ze nog even droogstomen.” Dit is een algoritme in acht stappen om aardappels te koken, waarbij stap zes (‘prik er met een vork in en kijk of ze gaar zijn’) soms herhaald moet worden.

Maar goed, omdat er geen 2300 jaar oud kookboek bewaard is gebleven, geldt de Elementen als het oudste boek waarin een algoritme staat beschreven.

Naar het volgende verhaal uit deze serie.

Naar het vorige verhaal uit deze serie