19. John Napier, 1550 – 1617; bedenker van de logaritme en van een rekensysteem met staafjes

John Napier, 1550 – 1617; bedenker van de logaritme en van een rekensysteem met staafjes als hulpmiddel.

John Napier

Het is voor de mensheid maar goed dat niet alle berekeningen van de Schotse wiskundige John Napier klopten. Was dat wel het geval geweest, dan hadden we niet meer bestaan, want volgens berekeningen van Napier, gemaakt in 1593 en gebaseerd op theologische geschriften, zou de wereld in 1688 vergaan, en als het niet in dat jaar gebeurde, dan zou de dag des oordeels in 1700 plaats vinden – het kan natuurlijk ook zijn dat zijn berekeningen wel klopten, maar dat zijn uitgangspunten onjuist waren.

John Napier is in de wiskunde een beroemde naam. Hij geldt als de bedenker van de logaritme. In 1614 verscheen zijn boek ‘Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio’, waarin hij het concept van logaritmes beschreef. Dit is echter niet alleen de reden dat hij is opgenomen in het overzicht van de mensen achter de computer. Dat heeft hij mede te danken aan zijn zogenaamde ‘Napier’s Bones’ (in het Nederlands wel de ‘beenderen van Napier genoemd’). Dat waren ivoren staafjes waarop getallen stonden. De staafjes kon men gebruiken als hulpmiddel bij het maken van vermenigvuldigen en delingen. Het was gebaseerd op een “idee” dat al in het oude India en Egypte bekend was.

napier bones 3Setje van Napier’s bones uit de zeventiende eeuw; Landesmuseum Baden-Württemberg, Stuttgart; foto Dr. Bernd Gross; Wikipedia.

Ten aanzien van Napier’s betekenis voor de wiskunde is er nog een puntje de moeite waard om hier te vermelden en wel de decimale punt. Het was John Napier die in 1617 voor het symbool “.” pleitte om de “getallen achter de komma” te scheiden van “de getallen voor de komma”.

John Napier

Jhone Neper, zoals Napier in zijn tijd bekend stond – er deden meerdere variaties van zijn naam de ronde – maar beslist niet de versie (John Napier) waaronder wij hem nu kennen – was de oudste zoon van een grootgrondbezitter in Schotland. Zijn vader, Sir Archibald Napier of Merchiston Castle, trouwde als vijftienjarige in 1549 met de eveneens vijftienjarige Janet Bothwell, de oudste dochter van een andere Schotse grootgrondbezitter.

Napier Merchanston CastleMerchiston Castle zoals het er in 1834 uitzag

Een jaar later werd John geboren. Over zijn jeugd is weinig bekend. Hij ging niet naar school maar kreeg net zoals veel andere kinderen van rijke ouders thuis privéonderwijs van allerlei tutoren. Er is er een brief bewaard gebleven van een oom, een Schotse bisschop, gericht aan zijn vader, waarin hij adviseert om de op dat moment elfjarige John naar Frankrijk of Vlaanderen te sturen om daar zijn opleiding voor te laten zetten. Of hij dat inderdaad gedaan heeft, is echter onbekend.

Wel is bekend dat in 1563 de dan 13-jarige John Napier zijn entree maakt aan St Andrews, de bekendste en oudste universiteit in Schotland. Hij staat daar ingeschreven onder de naam Johannes Neaper. Naar verluidt zou de jonge Napier vooral in theologie geïnteresseerd zijn, iets wat hem zijn hele leven zou bezig houden. Hij studeerde er niet af – zijn naam ontbreekt in de boeken met namen van mensen die er afstudeerden – maar zou voor zijn verdere opleiding naar het vasteland van Europa zijn vertrokken. Naar verluidt heeft hij aan de universiteit van Parijs gestudeerd, maar ook landen als Nederland, Zwitserland en Italië worden genoemd als landen waar hij zijn opleiding verder heeft genoten. Vermoedelijk deed hij dit om er beter Latijn en Grieks te leren, de talen van de oudheid. Vooral om Grieks te leren kon je beter op het continent zijn dan in Schotland. In ieder geval beheerste hij in 1571 toen hij op 21-jarige leeftijd terug keerde in Schotland deze talen. Ook had hij een grote interesse in de wiskunde en astronomie ontwikkeld.

John Napier houtsnede

Portret gemaakt door een zekere mr. Brown; jaartal onbekend; bron: ‘Wellcome Library, London”

In 1572 nam hij het beheer van de landgoederen van zijn vader over. Hetzelfde jaar trouwde hij met Elizabeth Sterling, dochter van een Schotse grootgrondbezitter. Het was een gearrangeerd huwelijk. Elizabeth bracht het grootste gedeelte van het landgoed van haar vader in.

Elizabeth Stirling Napier

Elizabeth Stirling

Haar vader, James Stirling, stond bekend als een wiskundige, iets wat Napier aangesproken zal hebben. Napier en zijn vrouw zouden vier kinderen krijgen. Later, nadat zijn vrouw in 1579 was overleden, hertrouwde hij met Agnes Chisholm, eveneens een dochter van een grootgrondbezitter. Met haar zou hij ook nog eens (minstens) tien kinderen krijgen.

Naast  het beheren van de landgoederen – in 1574 liet hij een nieuw kasteel bouwen op een deel van zijn nieuw verworven land – hield hij zich aanvankelijk vooral bezig met godsdienstzaken. Hij was een fanatiek aanhanger en verdediger van het protestantisme. Toen de Spaanse armada van de katholieke Spaanse koning Philips II in de zomer van 1588 naar Engeland voer, stelde Napier voor om met hulp van de zon en grote brandpuntspiegels de houten Spaanse schepen in brand te steken. Een idee dat hij had opgepikt uit oude Griekse verhalen. De Engelse admiraliteit vertrouwde echter meer op haar eigen schepen dan op de aanwezigheid van een zonnetje en de armada werd zonder brandspiegels verslagen.

Het zou niet het enige militaire idee van Napier zijn dat hij bedacht en dat niet werd uitgevoerd. Hij kwam even later ook met een soort tank op de proppen – de mensen die er in zaten moesten het voertuig als een soort Fred Flinstone-auto voortbewegen – en iets wat je als een onderzeeboot zou kunnen zien. Ook hield hij zich bezig met het zoeken naar manieren om de opbrengst van zijn landgoed te verbeteren. Zo experimenteerde hij bijvoorbeeld met meststoffen en het strooien van zout om het land te verrijken.

In 1593 publiceerde hij een godsdienstig boek getiteld ‘A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John’. Hierin ging hij fel te keer tegen het katholicisme. Zo beweerde hij dat de regerende paus de antichrist was. Het was ook dit boek waarin hij zijn voorspelling van de dag des oordeels deed. Die zou in 1688 of in 1700 komen, althans zo leerden berekeningen hem – blijkbaar waren er twee oplossingen mogelijk. Het boek was een groot succes en het werd ook in het Nederlands, Duits en Frans vertaald. Napier dacht zelf altijd dat als hij later in de geschiedenisboeken zou belanden, het dit dankzij dit boek zou zijn.

John Napier boek

Nadat Napier zijn godsdienstige boek had gepubliceerd, ging hij zich vooral met de wiskunde en de astronomie bezig houden. Eén van de grote problemen waar de wiskunde mee zat, was dat het rekenen met grote getallen moeilijk was. Napier bedacht dat het rekenen met grote getallen misschien wat makkelijker zou zijn, als je de grote getallen ging zien als machten van kleinere getallen en daar dan mee ging rekenen. Zo is bijvoorbeeld het getal 729 gelijk aan 3 tot de macht 5 (immers 3 x 3 x 3 x 3 x 3=729). Napier kwam toen met een wiskundig concept  – hij noemde dit “logaritme’  – dat je kon gebruiken bij het rekenen met grote getallen .

De logaritme van een getal is de exponent waarmee een waarde, het zogenaamde grondtal, moet worden verheven om dat bepaalde getal als resultaat te verkrijgen. Wat wetenschappelijker geformuleerd wordt de logaritmische functie – meestal afgekort tot ‘log’ – gedefinieerd als de inverse van een exponentiële functie. Dit klinkt misschien wat ingewikkeld, daarom even een simpel voorbeeld.

Stel, we kiezen als grondtal het getal 10, dan is bijvoorbeeld  de logaritme van  het getal 100 het getal 2, immers 10 tot de macht 2 is 100; (10 x 10=100). Idem is de logaritme voor het getal 1000 met het grondtal 10 dan 3, want 10 tot de macht 3 is 1000; (10 x 10 x 10 =1000). Omdat wiskundig gezien – vraag niet hoe het kan, maar profiteer er van – de volgende stellingen gelden log (A x B) = log (A) + log (B) en log (A : B) = log (A) – log (B), kan je met behulp van logaritmische functies vermenigvuldigingen en delingen uitrekenen met behulp van het veel simpelere optellen en aftrekken. (Wel heb je hiervoor een boek met logaritme-tabellen nodig, de zogenaamde logaritmetafels. Dat zijn boeken met eindeloze reeksen getallen en hun bijbehorende logaritmes.  ).

logaritmeknop

Op de moderne handrekenmachines zitten meestal al standaard twee knoppen waarmee je de logaritmes van een bepaald getal kan uitrekenen. Eentje (log) voor het grondtal 10 en eentje (ln) voor het ” natuurlijke’ grondtal ‘e,’ (e=2.71828….) Je toetst gewoon het getal in, drukt op de knop ‘log’ en de rekenmachine geeft de logaritme van dat getal weer;  (foto Waifer X; Wikipedia)

En nu we toch wetenschappelijk bezig zijn, ook even een simpel voorbeeld hoe je met logaritmes kan rekenen: stel we willen uitrekenen hoeveel 100 x 1000 is.  Niet echt een vermenigvuldiging waarvoor je gebruik zou moeten maken van logaritmes, maar goed, stel dat we dit wel met behulp van logaritmes zouden willen doen. We zagen al dat log (100) = 2 en dat log (1000) = 3.  Nu maken we gebruik van de formule log (A x B) = log (A) + log (B). Oftewel in dit geval log (100 * 1000) = log (100) + log (1000) = 2 + 3 = 5. Vervolgens zoeken we in een boek met logaritme-tabellen op voor welk getal x geldt dat log (x) = 5. Dat blijkt het getal 100.000 te zijn.  Dat houdt dus in dat de uitkomst van 100 x 1000 gelijk aan 100.000 moet zijn. Nu is 100 x 1000 uiteraard een vermenigvuldiging die we heel goed zonder de hulp van logaritmes kunnen doen, maar bij vermenigvuldigingen van minder mooie grote getallen was een logaritmetafel in de tijd dat er geen rekenmachines bestonden een handig hulpmiddel. Zo maken bijvoorbeeld alle rekenlinialen gebruik van logaritmes.

Logaritmes worden overigens ook vaak gebruikt om met behulp van schalen verhoudingen aan te geven. Bij sommige zaken gaat het namelijk niet zo zeer om de absolute waarde van een bepaald meet-item, maar meer om de (logaritmische) verhouding ten opzichte van een basiseenheid. Bekende logaritmische schalen zijn de decibel-schaal voor het geluidsniveau en de schaal van Richter voor de sterkte van aardbevingen. Zo is een aardbeving met een kracht van 4 op de schaal van Richter tien keer zo zwaar als een aardbeving met een kracht van 3 op de schaal van Richter; een aardbeving met een kracht van 5 is honderd keer zo zwaar als die van schaal 3, enzovoorts.

In 1614 publiceerde Napier zijn boek ‘Mirifici logarithmorum canonis descriptio’ – het was geschreven in het Latijn – waarin hij een beschrijving gaf van het idee van logaritmes.  (Ongeveer tegelijkertijd, of misschien zelfs wel eerder, bedacht de Zwitserse klokkenmaker Jost Bürgi ook het concept van de logaritme maar hij publiceerde hier pas in 1620 over, waardoor John Napier te boek staat als de bedenker van de logaritme.)

Napier gebruikte bij de logaritmes in zijn boek niet het grondtal 10. Zijn invalshoek was meer meetkundig dan algebraïsch. Henry Briggs, een Engelse wiskundige las het boek en was diep onder de indruk. Hij reisde naar Schotland af en overtuigde Napier om met het grondgetal 10 te gaan werken. Napier vond het een goed idee. Briggs ging daarop aan het werk en berekende voor alle gehele getallen tussen de 1 en 1000 de logaritme met het grondgetal 10. In 1616 verscheen een Engelse editie van Napier’s boek met daarin een extra hoofdstuk met een tabel van de logaritmes van de eerste 1000 getallen. In 1624 zou Briggs een eigen boek publiceren met daarin voor het grondtal 10 alle logaritmes van de gehele getallen tussen 0 en 20.000, plus de logaritmes voor de gehele getallen tussen 90.000 en 100.000.

Briggs logaritmeboek Briggs logaritmeboek pagina

Het boek van Briggs en een pagina uit het boek met de logaritmes voor de eerste 34 getallen (met liefst 14 cijfers achter de komma).

Merkwaardigerwijze sloeg Briggs de getallen tussen 20.000 en 90.000 over. Deze leemte werd in 1626 ingevuld door de Nederlandse landmeter Ezechiel de Decker. Napier maakte het uitkomen van deze tabellenboeken echter niet meer mee. Hij overleed op 4 april 1617 op 67-jarige leeftijd.

Napier 1617

John Napier in 1616, een jaar voor zijn dood

Wat Napier ook net niet meemaakte was de uitgifte van zijn boek ‘Rabdologiae’. Dit boek verscheen enige maanden na zijn overlijden. Het was dit boek waarin Napier zijn rekenstaafjes beschreef, waarmee hij mede zijn plaats in de geschiedenis van de computer verdiende.

napier boek

Zijn rekenstaafjes waren een hulpmiddel om te kunnen vermenigvuldigen en delen. Ze hadden overigens niks met logaritmes te maken, maar waren gebaseerd op een methode die al eeuwenlang in oude beschavingen in Azië en in Arabië werd gebruikt. Het werkt als volgt. Stel we willen de getallen 321 en 456 met elkaar vermenigvuldigen (en we hebben geen rekenmachine voorhanden). We pakken er even ouderwets een kladblaadje bij en maken de vermenigvuldiging op papier. We zien dan dat 321 x 456 = 146.376.

Napier berekening 1

Nu kan je deze berekening ook op een ander manier doen. In het oude India en Egypte deed men het namelijk vaak zo:

Napier berekening 2Horizontaal schreef men het te vermenigvuldigen getal op (321); verticaal het getal (456) waarmee men het andere getal wilde vermenigvuldigen. Vervolgens vermenigvuldig je alle cijfers van beide getallen afzonderlijk met elkaar en je schrijft de uitkomsten daarvan in de hokjes er onder. Wel moet je deze uitkomsten “scheef” opschrijven (zie bijvoorbeeld 3 x 4=12 in het hokje onder de drie). Als de uitkomst kleiner is dan 10, dan geef je het een ‘voorloopnul’, 2 x 4  = 8; dat schrijf je dan op als 08.  Vervolgens tel je de uitkomsten van de diagonalen op. Je begint aan de rechterkant. Je krijgt dan achtereenvolgens: 6; daarna 5+0+2=7; dan 4+0+0+1+8=13 (3 opschrijven; 1 onthouden); 1 (die je moest onthouden)+ 0+8+1+5+1 = 16 (6 opschrijven en 1 onthouden) en op dezelfde manier ook nog achtereenvolgens een 4 en een 1. Onder de tabel lees je nu de uitkomst van 321*456 zijnde 146.376.

Het even geniale als simpele idee van Napier – hoe moeilijk kan het zijn – was nu om de vermenigvuldigingen van alle cijfers al vast standaard klaar te hebben staan op ivoren staafjes, waarna je de staafjes van de cijfers pakte die je nodig had. Op elk staafje staat de tafel van het betreffende getal. Zie hieronder een voorbeeld (afkomstig uit de Wikipedia) met de staafjes met daarbij links toegelicht hoe het staafje van 7 tot stand komt (gewoon de tafel van 7)

Napier bones 2

Als je nu 321 x 456 wilt uitrekenen, dan pak je uit de doos de staafjes van de 4, 5 en 6. (voor elk cijfer bevatte de doos overigens meerdere staafjes; een getal kan immers twee of meer keer hetzelfde cijfer bevatten.) Je legt de staafjes op het bord en kijkt dan bij rijen 3, 2 en 1 (de cijfers van het getal waarmee je vermenigvuldigt.) Daarna maak je de optellingen op dezelfde manier als boven beschreven. Behalve voor vermenigvuldigingen kan je de staafjes ook gebruiken voor delingen en worteltrekken.

napier bones

Een setje ‘Napier’s Bones’ uit 1650 zoals te zien is in het National Museum of Scotland; foto Kim Traynor; Wikipedia.

Je kan de staafjes van Napier uiteraard niet beschouwen als een vorm van een (mechanisch) rekenapparaat. Je moet immers nog steeds zelf de berekeningen doen, maar alleen als een hulpmiddel bij het rekenen. Het idee van de staafjes – het al klaar hebben staan van de uitkomsten van hulpberekeningen – was echter wel iets wat in de eerste mechanische rekenmachines werd gebruikt om deze te laten vermenigvuldigen en daarmee heeft Napier  mede zijn plaats te danken in het overzicht van de mensen achter de computer.