12 Aryabhata; 476 – 550; Indiase wiskundige en astronoom; construeerde een nieuw getallenstelsel

Aryabhata; 476 – 550; Indiase wiskundige en astronoom; construeerde een nieuw getallenstelsel waarmee gemakkelijker dan voorheen gerekend kon worden

9 ary

Standbeeld van Aryabhata zoals te zien is op  het ‘Inter-University Centre for Astronomy and Astrophysics’ in Pune (Poona), India. Waarom de maker van dit standbeeld denkt dat Aryabhata er zo uit heeft gezien is een compleet raadsel. Er zijn geen afbeeldingen van Aryabhata bekend.

Wie ’s avonds (op het noordelijk halfrond) naar de sterrenhemel kijkt en een foto met een heel lange sluitertijd maakt, zou dit als resultaat kunnen zien.

9 aryabDe sterren lijken een rondje aan de hemel te draaien. (Foto d.d. 1 december 2006 gemaakt door Steve Ryan; Groveland, CA, USA; bron Flickr.)

Nu zijn er twee verklaringen mogelijk voor dit fenomeen. De eerste luidt dat de aarde stil staat en de sterren ’s nachts een rondje om de aarde heen draaien. Deze theorie heeft eeuwenlang opgeld gedaan. De Indiaanse astronoom en wiskundige Aryabhata stelde echter dat je dit optische effect ook krijgt als de sterren ‘stil staan’ en het de aarde is die om haar eigen as draait. Uiteraard beschikte Aryabhata niet over een dergelijke sterrenfoto, maar wel over tekeningen van de bewegingen van de sterren die oude Indiaanse astronomen met veel geduld hadden gemaakt.

Aryabhata was niet de eerste die veronderstelde dat het de aarde was die draaide en niet de sterren –  de oude Grieken hadden dit vermoeden al eerder geuit – maar hij was wel de eerste belangrijke astronoom die deze veronderstelling in een boekwerk opschreef. Hij deed dat in het jaar 499 in  ‘Aryabhatiya’. Dit werk bevatte 121 sutra’s (verzen) op het gebied van astronomie en wiskunde. Over de ‘relativiteit van bewegende sterren’ als gevolg van het draaien van de aarde schreef hij:

“Net zoals iemand in een boot die voorwaarts drijft, de zaken op de oever naar achteren ziet verdwijnen, zo ziet de mens de stationaire sterren bewegen terwijl het in werkelijkheid de aarde is die draait.”

Aryabhata schreef verder dat de aarde in 23 uur 56 minuten en 4,1 seconden rondom zijn as draaide. Gezien de 23 uur 56 minuten en 4,091 seconden waar men tegenwoordig vanuit gaat, is dat een uitermate  nauwkeurige inschatting. Ook berekende hij vrij nauwkeurig de omtrek van de aarde.

Opvallend is dat na zijn dood –  toen het boek werd ‘herdrukt’ –  iemand de tekst over het draaien van de aarde aanpaste. Aryabhata had ongetwijfeld een fout gemaakt, dacht deze persoon. In diens uitgave draaiden de sterren weer om de stilstaande aarde heen.

De Poolster

Nog even iets over de foto van de ‘draaiende sterren’, op de foto is één ster te zien die ‘niet beweegt’, maar in het middelpunt van de cirkel stil lijkt te staan. Die ster is de Poolster. Dat hij niet “draait” komt omdat hij bijna precies in het verlengde van de denkbeeldige rotatie-as van de aarde staat. Dat de Poolster daardoor altijd op dezelfde plek (in het noorden) staat, is handig voor zeelui die willen weten waar ze zich op zee bevinden. Met hulp van de poolster kunnen ze hun breedtegraad op zee bepalen. De hoek aan de hemel waarop een waarnemer de Poolster ziet, is namelijk gelijk is aan de breedtegraad waarop de waarnemer zich bevindt. Door de hoek te meten, weet men aldus op welke breedtegraad het schip vaart. (De uitdrukking “poolshoogte nemen” vindt hier zijn oorsprong in.)

En nu we toch buiten het onderwerp van de mensen achter de computer bezig zijn, de poolster staat momenteel niet exact in het noorden. Er is een kleine afwijking, iets minder dan 1 graad. Dit komt omdat de aarde om haar as schommelt, waardoor er een effect optreedt dat precessie heet. Niet iets om hier uitgebreid te behandelen, maar het heeft tot gevolg dat er een cyclus van 26.000 jaar is waarin de noordelijke hemelpool, dat is het punt aan de hemel waar de denkbeeldige rotatie-as van de aarde de hemelbol snijdt en dat het noorden aangeeft, een kleine cirkelbaan beschrijft ten opzichte van de vaste sterrenhemel.

Het effect daarvan is dat gedurende deze cyclus van 26.000 jaar de sterren langzaam een heel klein rondje aan de hemel lijken te draaien, waardoor tijdens die cyclus zes verschillende sterren op een bepaald moment ‘precies’ in het noorden staan. Momenteel staat de ster Polaris op die plek en vervult daarmee de “rol van Poolster” – 14.000 jaar geleden was de ster Wega de Poolster, 4.800 jaar geleden Thuban en 3.000 jaar geleden Kocab. Na Polaris staan er in het jaar 4145, respectievelijk in 7530, weer twee andere sterren exact in het noorden en zijn dan de poolster, waarna in het jaar 14.000 Wega weer de poolster is en de cyclus van 26.000 jaar opnieuw begint. U kijkt dus nu naar een andere poolster (Polaris) dan bijvoorbeeld de oude Grieken die de ster Kocab als Poolster zagen. Maar goed, terug naar Aryabhata.

De persoon Aryabhata

Aryabhata is geboren in 476 na Christus. Dat weten we omdat hij in zijn in 499 verschenen werk ‘Aryabhatiya’ opschreef dat hij op dat moment 23 jaar oud was.

Als zijn geboorteplaats wordt meestal Kusumapura, het huidige Patna, een stad met thans meer dan 2 miljoen inwoners, gelegen vlakbij de Ganges in het oosten van India, genoemd. Volgens sommige bronnen zou hij echter in Ashmaka in het zuiden van India zijn geboren, en weer andere bronnen hebben het over een stad in het noorden. We houden het er maar op dat hij ergens in het huidige India is geboren. Wel zijn de meeste bronnen het er over eens dat hij in ieder geval lange tijd gewoond en gewerkt heeft  in Patna dat toen bekend stond als Kusumapura

9 aryab patna

De rode stip is Patna, het vroegere Kusumapura

Aryabhata was in de eerste plaats astronoom.  Zijn wiskundige analyses dienden slechts om berekeningen op het gebied van de astronomie te kunnen maken. Als astronoom was Aryabhata baanbrekend. Niet alleen schreef hij dat het de aarde was die om haar as draaide, ook stelde hij dat de maan en de planeten alleen zichtbaar zijn omdat ze zonlicht weerkaatsen.  Ook liet hij zien hoe zon – en maansverduisteringen tot stand kwamen. Wel ging hij er ten onrechte van uit dat de aarde het middelpunt van het heelal was en dat de zon om de aarde draaide.

Hij maakte ook berekeningen over de banen van de planeten, waarvan hij terecht stelde dat ze elliptisch van aard waren. Om deze banen te kunnen berekenen moest hij echter oplossingen bedenken voor een aantal zogenaamde diofantische vergelijkingen. Dat zijn vergelijkingen waarbij er meer variabelen dan vergelijkingen zijn. (Diophantus van Alexandrië die voor het eerst over dit soort vergelijkingen schreef, was een Griekse wiskundig die leefde in de derde eeuw voor Christus.) Een voorbeeld van een diofantische vergelijking is xn + yn = zn . Eén vergelijking met drie onbekenden (x,y en z). Voor n=1 en n =2 zijn er veel oplossingen, maar voor n=3 en hoger bestaan er geen oplossingen met natuurlijke getallen ongelijk aan 0. (Dit laatste staat bekend als de beroemde laatste stelling van Fermat.)

Aryabhata zocht om de berekeningen van de planetenbanen te kunnen maken naar oplossingen van lineaire vergelijkingen van het type ax + by = c, waarbij x en y onbekenden zijn en a, b en c gehele getallen zijn. In zijn boek gaf hij als oplossing voor dit type vergelijkingen een algortime, gebaseerd op dat van Euclides.  Hij hield zich ook bezig met vlakke meetkunde, bolmeetkunde en goniometrie. Zo bevatte zijn boek een aantal door hem berekende sinustabellen. Ook hield hij zich bezig met het maken van berekeningen om kalenders te kunnen maken.

Het getallenstelsel van Aryabhata

De reden dat Aryabhata in het overzicht van mensen achter de computer is opgenomen is zijn getallenstelsel dat hij bedacht. Hij baseerde dit op het Indiaanse alfabet uit die tijd. De eerste 25 medeklinkers gebruikte hij om de getallen 1 t/m 25 aan te geven. De andere acht medeklinkers stonden voor de tientallen 30 t/m 100. De negen klinkers dienden om machten van het getal tien aan te geven. (Overigens bedacht Archimedes – wie anders – in de derde eeuw voor Christus over een systeem van getallen die bestaan uit machten van het getal tien. Dit omdat hij wilde berekenen hoeveel zandkorrels er nodig zouden zijn om het hele heelal te kunnen vullen.)

Het vernieuwende van het getallenstelsel van Aryabhata zit hem in het combineren van ‘gewone  getallen’ met getallen die bestaan uit machten van tien. Door deze te combineren met de “gewone getallen’ kon hij alle gehele getallen van 1 tot en met 10 18  vormen. (Wel is het zo dat sommige getallen op meerdere manieren uit de  ‘basisgetallen’ gevormd kunnen worden.) O

9 aryab getallwnZie hier zijn vertaling van de klinkers en medeklinkers in getallen; rechts staan de getallen 1 tot en met 25; linksonder 30 t/m 100 en linksboven de machten van 10; Bron Wikipedia

Met zijn stelsel was het veel gemakkelijk rekenen dan met bijvoorbeeld het Romeinse getallenstelsel dat op dat moment in Europa het gangbare getallenstelsel was. In zijn boek staat een voorbeeld van een berekening:

“caturadhikaṃ śatamaṣṭaguṇaṃ dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ.” .

In de tijd van Aryabhata werd nog niet gebruik gemaakt van formules in een wiskundige notatie met tekens als ” + – x en / ”  maar schreef men de formule helemaal als tekst uit. Voor wie wat minder goed zijn talen spreekt dan uw schrijver, hierboven staat: “Tel vier op bij honderd, vermenigvuldig dit met acht, en telt er dan 62.000 bij op, dan kan krijgt men een benadering van de omtrek van een cirkel met een diameter van 20.000.”

Voor wie denkt “waar slaat dit allemaal op?”, in deze berekening zit een benadering van het getal pi “verstopt”. (π is gelijk aan de omtrek van een cirkel gedeeld door de diameter). Als we de berekening met de getallen van Aryabhata uitvoeren, dan zien we ((4 + 100) × 8 + 62.000) / 20.000 = 62.832 / 20.000 = 3,1416 en dat getal is een zeer goede benadering van pi. Hoe Aryabhata tot deze benadering van π  kwam, vermeldt hij niet.

Dat gold ook voor een aantal wiskundige stellingen in zijn werk. Ook daar gaf hij geen bewijs voor. Waarschijnlijk had het er mee te maken dat de wiskunde voor Aryabhata slechts als ondersteuning diende voor zijn astronomiewerk.

Sommige historici stellen dat Aryabhata ook het concept nul, in de hoedanigheid als zijnde een getal, al kende, maar daar is geen bewijs voor. Het was zijn landgenoot Brahmagupta die voortbouwde op het getallengestel van Aryabhata en ruim honderd jaar later met het begrip “nul” op de proppen kwam. (De Arabieren namen daarna het getal 0 over en combineerden dit met hun (Arabische) cijfers en getallenstelsel, waarmee ons huidige getallenstelsel ontstond.)

Naast de ‘Aryabhatiya’ heeft Aryabhata in ieder geval nog twee andere (en misschien nog meer) boekwerken geschreven, die echter allemaal verloren zijn gegaan. Zijn tijd- en landgenoot Varāhamihira schreef over een werk van Aryabhata getiteld ‘Arya-siddhanta’, waarin niet alleen allerlei astronomische berekeningen stonden, maar waarin ook diverse astronomische meetinstrumenten in werden beschreven. Ook wordt een werk van hem vermeld in een Arabisch wiskundig werk uit de negende eeuw.

Over de persoon Aryabhata is verder zeer weinig bekend. Hij zou in de tijd van het Gupta-dynastie als astronoom gewerkt hebben aan de boeddhistische  universiteit van Nalanda, die was gevestigd in Patna. Aryabhata was naar verluidt overigens geen boeddhist maar een hindoe. (Later, in de twaalfde eeuw, werd deze universiteit van Nalanda door de binnenvallende Turken vernietigd.)

Behalve zijn geboortejaar (476) weten we verder alleen nog dat hij in 550 is overleden. Dat is dus zo’n vijftig jaar nadat hij als 23-jarige zijn meesterwerk schreef.

Vooral In India wordt hij nog zeer vereerd. Zo droeg de eerste Indiaanse satelliet, gelanceerd in 1975,  zijn naam. Ook is een krater op de maan naar hem genoemd.

My WordPress Blog