4. Archimedes van Syracuse, 287 v. Chr. – 212 v. Chr. Bedacht een manier om met grote getallen te kunnen rekenen.

Archimedes van Syracuse, 287 v. Chr. – 212 v. Chr. Bedacht een manier om met grote getallen te kunnen rekenen.

Er zijn van die geleerden uit de oudheid waar men haast alleen nog maar anekdotes over leest en niet wat ze als geleerde hebben gedaan. Neem bijvoorbeeld Isaac Newton. Als je aan iemand vraagt, wat hij of zij van hem weet, dan krijg je vaak antwoord: “Was dat niet de man die een appel zag vallen en toen de zwaartekracht uitvond?” Je hebt dan de neiging om te zeggen: “Ja inderdaad en het is maar goed dat Newton toen de zwaartekracht uitvond, want anders zweefden we nu allemaal in de lucht.”

Nog zo’n iemand is Archimedes. “Was dat niet de man die in bad zat, een slim idee kreeg en toen luidkeels “Eureka!” riep?” Inderdaad, maar waarom hij dat deed is voor de meesten een raadsel. Als je dan zegt dat hij dat deed omdat hij net de Wet van Archimedes had bedacht, dan zegt men vaak, o ja inderdaad, de Wet van Archimedes, zonder dat men ook maar enig idee heeft hoe die wet luidt. (De opwaartse kracht die een lichaam in een vloeistof of gas ondervindt is even groot als het gewicht van de verplaatste vloeistof of gas; het is de wet die verklaart waarom schepen van ijzer toch kunnen blijven drijven).

Wist u trouwens dat Archimedes ook een keertje heeft berekend hoeveel zandkorrels er nodig zouden zijn om het hele heelal te kunnen vullen? Het lijkt niet zo’n nuttige rekenexercitie – en dat is het ook niet – maar voor de ontwikkeling van de wiskunde was dit wel een heel belangrijk werk. Want om die berekening te kunnen maken, moest Archimedes eerst een nieuw stelsel van grote getallen verzinnen. Het Griekse getallenstelsel, gebaseerd op het Griekse alfabet, ging namelijk niet ver genoeg. Archimedes kwam met een systeem van tien tot de macht X op de proppen om grote getallen aan te geven. Hij bewees onder andere de wet van exponenten, zijnde dat 10a x 10b =10 (a+b).

Volgens Archimedes waren er 8×1063korrels zand nodig om het gehele heelal te vullen. Dat is een 8 gevolgd door 63 nullen. Dat is een heel groot getal maar niet groot genoeg. Archimedes ging van verkeerde aannames uit. Weliswaar dacht hij terecht dat de aarde om de zon draaide en niet andersom, zoals de kerk in de Middeleeuwen stelde, maar dacht hij ten onrechte dat de zon het middelpunt van een bolvormig heelal was. Ook schatte hij de doorsnede van de zon te klein in. Op basis van verhoudingen berekende hij dat het heelal een diameter had van ongeveer twee lichtjaren (omgerekend naar de maatstaven van nu). Zelfs de dichtstbijzijnde ster (Proxima Centaur) staat al op iets meer dan vier lichtjaren afstand van de aarde, waardoor Archimedes het heelal veel en veel te klein inschatte en daarmee ook het benodigde aantal zandkorrels – het zandgetal zoals hij het noemde –te laag inschatte.)

Toch was dit rekenwerk een knap stukje werk van Archimedes. Deze doorbraak naar het rekenen met supergrote getallen is dan ook één van de redenen dat Archimedes is opgenomen in het overzicht van de vijftig mensen achter de computer. De andere reden is dat dit grootste genie uit de oudheid ook allerlei belangrijke uitvindingen op zijn naam heeft staan, waaronder een schroefpomp die in Nederland veelvuldig is gebruikt om polders droog te pompen. Ook bouwde hij een apparaat dat de positie in de sterrenhemel kon weergeven van de toen vijf bekende planeten.

Archimedes van Syracuse

Archimedes

Archimedes zoals hij afgebeeld staat op de Fieldsmedaille, een wiskundige prijs die om de vier jaar wordt uitgereikt door de International Mathematical Union (IMU). Deze medaille is te beschouwen als de Nobelprijs voor wiskundigen, met als kanttekening dat hij in principe alleen aan wiskundigen onder de veertig jaar wordt uitgereikt. Op de rand staat in het Latijn een spreuk die vaak aan Archimedes wordt toegeschreven. ‘Transire suum pectus mundoque potiri’ oftewel: “Stijg boven jezelf uit en beheers de wereld”. Het portret is ontworpen door Stefan Zachow. Voor deze afbeelding geldt hetzelfde als voor alle andere portretten van Archimedes: het is volledig gebaseerd op de fantasie van de kunstenaar. Hoe Archimedes er daadwerkelijk uitgezien heeft is niet bekend.

Archimedes werd geboren in het jaar 287 voor Christus in Syracuse, een kustplaats in het oosten van Sicilië. Nu behoort dit eiland tot Italië maar in de tijd van Archimedes was het onderdeel van het Groot Griekse rijk en had het een eigen koning. Syracuse was in die tijd één van de grootste steden van het Griekse rijk, naar verluidt even groot als Athene. Archimedes was de zoon van Phidias, een bekende astronoom uit die tijd. Wie zijn moeder was, is onbekend. Over zijn jeugd is dan ook niet veel bekend.

Op een gegeven moment vertrekt Archimedes naar Alexandrië waar hij lessen volgt aan de wiskundige school aldaar. Met veel van zijn collega studenten zou hij later contact blijven houden. Zo vond Archimedes het leuk om hen allerlei door hem bedachte wiskundige stellingen te sturen met de uitdaging om er het bewijs bij te vinden. Toen hij echter merkte dat één van zijn vrienden een aantal van deze stellingen vervolgens als eigen werk presenteerde, stuurde hij hem opzettelijk een tweetal valse stellingen die prompt door zijn studievriend als echte stellingen werden geponeerd, iets wat Archimedes in de inleiding van zijn geschrift over spiralen met veel plezier vermeldt.

Archimedes was niet alleen theoretisch bezig maar ook praktisch. Naar alle waarschijnlijkheid heeft hij tijdens zijn tijd in Alexandrië al het concept van de zogenaamde schroef van Archimedes bedacht. Dit is een handmatig te bedienen pomp waarmee men water omhoog kan pompen, zeer handig voor irrigatieprojecten. Het apparaat bestaat uit een holle buis, waarin een soort schroef zit. De schroef heeft een speciale vorm, waardoor het water niet kan terug lopen. Vooral voor de landbouw in het droge Egypte was dit een zeer nuttig apparaat.

archimedse schroef

Afbeelding afkomstig uit Chambers’s Encyclopedia (Philadelphia: J. B. Lippincott Company, 1875; bron: Wikipedia

Het apparaat wordt zelfs vandaag de dag nog steeds op diverse plaatsen in de wereld gebruikt. Een grotere versie, een vijzel gebaseerd op de schroef van Archimedes, is in Nederland eeuwenlang gebruikt om polders leeg te pompen.

archimedse vijzelHouten vijzel bij Molen Het Noorden op Texel, foto Rasbak; Wikipedia

Na zijn tijd in Alexandrië keerde Archimedes terug naar Syracuse. Hij zou er de rest van zijn leven blijven wonen. Hij ging er werken voor koning Hieron II (308-215 voor Christus). Volgens sommige bronnen was hij zelfs familie van hem. Aanvankelijk hield Archimedes zich vooral bezig met de wetenschap. Zo bedacht hij onder andere methoden om de inhoud en het oppervlakte van cilinders en bollen te berekenen. De methode die hij hiervoor bedacht kan men beschouwen als een voorloper van de integraalrekening. Ook berekende hij dat de waarde van de constante die het verband aangaf tussen de omtrek en de diameter van de cirkel (tegenwoordig bekend als het getal π) een waarde moest hebben die lag tussen 31⁄7 (dat is ongeveer 3.1429) en 310⁄71 (dat is ongeveer 3.1408). Gezien het feit dat π een waarde heeft van circa 3.1416 was dat zeker voor die tijd een heel goede schatting.

Niet alleen in de wiskunde blonk Archimedes uit, ook in de mechanica was hij goed. Zo gaf hij een wetenschappelijke verklaring voor de werking van de hefboom (arm × gewicht = constant aan beide zijden van het draaipunt.) Hij zette deze kennis gelijk om in praktische toepassingen. Zo bedacht Archimedes een zeer effectieve methode om boten in en uit het water te krijgen. Tot dan waren hiervoor vele arbeiders nodig die een enorme krachtsinspanning moesten leveren. Dankzij de ‘hefboom van Archimedes’ ging dit werk veel makkelijker. Een beroemde uitspraak van Archimedes die hij in dit verband gezegd zou hebben luidt: “Geef mij een steunpunt en ik verplaats de aarde”.

Archimedis hefboomArchimedes die de aarde verplaatst. Uit het Mechanics Magazine; Londen 1824.

Het meest bekende verhaal over Archimedes is het Eureka-verhaal. Op een dag kwam koning Hieron II bij hem. Hij had een goudsmid de opdracht gegeven om van een bepaalde hoeveelheid goud een gouden kroon te maken. Maar toen de koning de kroon in ontvangst nam, kreeg de koning argwaan. De kleur van de kroon was lichter dan dat hij had verwacht. Hij vreesde dat de goudsmid het goud stiekem had vermengd met zilver. Maar om dat te kunnen controleren moest hij de kroon doorzagen en dat wou hij niet. Of Archimedes geen methode wist om er achter te komen of de goudsmid het goud had vermengd met zilver of niet?

Archimedes nam een bad om hier over na te denken en terwijl hij in bad zat, realiseerde hij zich ineens dat een voorwerp zoals een lichaamsdeel onder water minder weegt dan boven water, hetgeen alleen verklaard kan worden als het voorwerp in de vloeistof een opwaartse kracht ondervond. Hij bedacht dat die kracht even groot moest zijn als het gewicht van de verplaatste hoeveelheid vloeistof. Tegenwoordig staat dit bekend als de Wet van Archimedes (hij geldt ook voor gassen).

Archimedes bedacht toen dat hij met deze wetenschap kon bepalen of de goudsmid wel of niet zilver in de kroon had verwerkt. Goud (19,2 kg/dm³) heeft namelijk een hogere dichtheid dan zilver (10,5 kg/dm³). Een kroon van puur goud die in het water wordt neergelaten verplaatst daardoor in water minder volume dan een even zware kroon die is gemaakt van een mengsel van goud en zilver en ondervind daardoor minder opwaartse kracht. Door nu de kroon en een hoeveelheid goud met hetzelfde gewicht als de kroon allebei ook onder water te wegen, kon hij zien of deze kroon van alleen goud was gemaakt of dat de kroon ook een hoeveelheid zilver bevatte. Als de kroon van 100% goud was, dan moest deze zowel boven als onder water even veel wegen als het echte goud.

archimedes test

Boven water wegen de kroon en een bepaalde hoeveelheid goud evenveel. Onder water weegt het goud meer. Dat betekent dus dat het soortelijk gewicht van de kroon lager is dan dat van het goud en dat er dus het lichtere zilver in is verwerkt. Afbeeldingen Tonyle; Wikipedia. Het verschil kan ook geconstateerd worden door te kijken naar de hoeveelheid water die via een overloop uit de bak stroomt als de voorwerpen in het water worden gelaten en dan de hoeveelheden uitgestroomd water te wegen c.q. te meten.

Volgens de overlevering riep Archimedes luidkeels “Eureka!”, sprong uit bad en rende schreeuwend “Eureka, eureka” (“Ik heb het, ik heb het”) naakt door de straten naar de koning toe. De test werd uitgevoerd. De kroon woog onder water minder dan het goud. De goudsmid probeerde de koning inderdaad op te lichten maar de wetenschap ontmaskerde hem. Of Archimedes daadwerkelijk naakt door de straten heeft gelopen ondertussen Eureka roepend, is echter niet zeker. Pas twee eeuwen later beschreef een zekere Vitruviu, een Romeinse architect, het verhaal voor het eerst en wel in ‘Architectura’, een verhandeling over architectuur.

Behalve om zijn wetenschappelijke theorieën is Archimedes ook bekend gevonden om de vele machines en apparaten die hij bedacht en construeerde. Veel van deze uitvindingen waren oorlogswerktuigen. Tijdens de tweede Punische oorlog tussen Rome en Carthago – deze duurde van 218 v.Chr. tot 201 v.Chr. – koos Syracuse na de aanvankelijke successen van Hannibal en zijn olifanten de kant van Carthago en niet die van Rome. (Tijdens de eerste Punische oorlog stond Syracuse nog wel aan de kant van Rome en lieten de Romeinen en de Syracusen elkaar met rust). Nadat het tij in de strijd tussen Hannibal en de Romeinen ten gunste van de Romeinen keerde, vielen de Romeinse legers vervolgens in 214 voor Christus Syracuse aan. Ondanks een overtal aan schepen lukte het de Romeinen niet om de havenstad te veroveren. Dit was grotendeels te danken aan Archimedes die allerlei bijzondere oorlogswerktuigen bedacht om de vijandelijke schepen te bestrijden.

Zo bedacht hij bijvoorbeeld een reuzekatapult, waarmee hij grote rotsblokken afschoot naar de vijandelijke schepen. Ook bedacht hij de zogenaamde klauw van Archimedes. Dit was een soort hijskraan waarmee de vijandelijke schepen die te dichtbij kwamen met behulp van een enterhaak, en gebruik makend van het hefboomeffect, werden opgetild en vervolgens op de rotsen of op hun zij in het water werden gegooid.

Archimedes klauwDe klauw van Archimedes aan her werk; afbeelding uit een achttiende-eeuws boekwerk.

Het beroemdst zijn de grote zonnespiegels waarmee met hulp van het zonlicht vijandelijke schepen in brand zouden zijn gestoken. Of al deze apparaten daadwerkelijk hebben bestaan, is echter onzeker. Het Amerikaans tv-programma Mythbusters heeft bijvoorbeeld tot twee keer toe geprobeerd of het met behulp van zonnespiegels mogelijk was om een houten schip in brand te steken.

Archimedis spiegelMuurschildering uit het jaar 1600 van Giulio Parigi; Uffizi Gallery, Stanzino delle Matematiche, in Florence

Dit lukte alleen als een schip heel lang heel stil op een plaats bleef liggen. Ook moesten de spiegels een doorsnede hadden van liefst elf meter. Kortom, niet erg waarschijnlijk. Maar ook zonder zijn klauw en de zonnespiegels hadden de Romeinen het zo lastig met Syracuse en de wapens van Archimedes, dat ze besloten de stad niet vechtend te veroveren maar dat ze de stad gingen uithongeren, net zo lang totdat de Syracusen te verzwakt waren om de stad te verdedigen.

Twee jaar later, in 212 voor Christus, was het zover. De Romeinen trokken de stad binnen. Eén van de Romeinse soldaten liep het huis van Archimedes binnen. Deze was net bezig om wat cirkels in het zand te tekenen en toen de Romein hier doorheen liep, riep volgens de overlevering Archimedes kwaad: “Verstoor mijn cirkels niet!”. Daarop doodde de soldaat de 75-jarige Archimedes met zijn zwaard. Dit was tegen het uitdrukkelijk bevel in van de Romeinse bevelhebber Marcus Marcellus die een groot bewonderaar was van Archimedes en zijn oorlogswerktuigen. Archimedes werd begraven op de grote begraafplaats van Syracuse. Op zijn graf werd een beeld geplaats van een bol in een cilinder. Archimedes beschouwde zijn ontdekking van de verhouding tussen het volume van een bol en een cilinder als zijn belangrijkste bijdrage aan de wetenschap. Cicero, de Romeinse redenaar, bezocht het graf van Archimedes in 75 v.Chr. en vermeldde in zijn geschriften de afbeelding van een cilinder met een bol er in.

Veel van zijn geschriften, modellen en apparaten namen de Romeinen mee terug naar Rome, waaronder een door Archimedes – hij was ook een deskundig astronoom – gemaakt ‘planetarium’. Het gaf aan hoe de toen vijf bekende planeten (Mercurius, Venus, Mars, Jupiter en Saturnus) en de zon en de maan zich langs de sterrenhemel bewogen. (Vanaf de Aarde gezien bewegen de planeten zich als zwervers tussen de sterren door langs de hemelbol. Het woord planeet is gebaseerd op het Griekse woord ‘planētēs’ dat ronddolen, rondzwerven betekent.) Cicero beschreef bijna twee eeuwen later dit apparaat in één van zijn geschriften.

Vanwege dit apparaat wordt Archimedes ook wel eens genoemd als mogelijke bouwer van het mechanisme van Antikyther (zie daarvoor verhaal nr. 6).

Archimedes. planetarium 2Het planetarium zoals het er uitgezien zou kunnen hebben; tekening John Hinton, zoals opgenomen in ‘The Universal Magazine’ (1749).

Tot slot, in een speelgoedwinkel kan je de zogenaamde Archimedes-puzzel tegenkomen, ook wel ‘Stomachion’ genoemd. Dat is een puzzel die bestaat uit veertien verschillende veelhoeken die, mits je ze op een bepaalde manier legt, samen een vierkant vormen.

Archimedes. puzzel

Archimedes. puzzel. oplossingDe afzonderlijke stukken en twee mogelijke oplossingen om er een vierkant van te maken.; bron RosarioVanTulpe; Wikipedia

Archimedes schreef uitgebreid over deze puzzels in één van zijn geschriften. Onduidelijk is of hij de puzzel zelf heeft geconstrueerd of dat hij alleen geïnteresseerd was in hoeveel manieren de puzzel gelegd kon worden. Archimedes vermeldde in zijn schrijven niet het aantal mogelijke oplossingen. Exclusief spiegelingen en draaiingen zijn het er 536. Dit aantal werd bepaald met behulp van een computerprogramma, waarmee we via de zandkorrels, het bad van Euraka, de zonnespiegel en een planetarium bij de computer zijn beland en we dit portret van één van de markantste persoonlijkheden uit deze serie van vijftig mensen achter de computer kunnen afsluiten.