3. Euclides van Alexandrië, omstreeks 300 voor Christus; beschreef het eerste algoritme

Euclides van Alexandrië, omstreeks 300 voor Christus; beschreef het eerste algoritme

Wie denkt dat de Bijbel het oudste boek ter wereld is dat nog telkens wordt ‘herdrukt’ heeft het mis. Hoogst waarschijnlijk zijn dat ‘de Ilias’ en ‘de Odyssee’, beide geschreven door Homerus. De ouderdom van deze boeken wordt op zo’n 2700 jaar geschat. Ook is er een meetkundeboek van zo’n 2300 jaar oud, getiteld ‘De Elementen’, geschreven door een zekere Euclides van Alexandrië, dat ook nog steeds wordt herdrukt. Wel is de Bijbel het boek dat in de westerse wereld het vaakst is herdrukt. Al zijn de duizend herdrukken van de Elementen ook niet niks.

Euclides fragment

Afbeelding: teruggevonden fragment uit één van de delen van de Elementen van Euclides van Alexandrië. Dit handgeschreven exemplaar stamt waarschijnlijk uit de eerste eeuw na Christus. Het fragment bevindt zicht in het Museum of Archaelogy and Anthropology van de University of Pennsylvania; foto Bill Casselman

Waarschijnlijk heeft u nog nooit van ‘De Elementen’ gehoord, maar wellicht kent u wel de uitdrukking ‘Quod erat demonstrandum’ (Q.E.D.) of wel ‘Wat te bewijzen was’ (WTBW), waarmee vaak een bewijs van een wiskundige stelling wordt afgesloten. Deze zinsnede was voor het eerst te lezen – uiteraard niet in het Latijn maar in het oude Grieks – in de Elementen van Euclides. Dit is echter niet de reden dat Euclides is opgenomen in dit overzicht van mensen achter de computer. De reden daarvoor is een methode die hij in één van de delen van de Elementen beschrijft, namelijk de methode om de grootst gemene deler van twee getallen te vinden. De door hem beschreven systematiek kunnen we zien als het eerste beschreven voorbeeld van een algoritme, een reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd doel leidt. Iets wat je in alle moderne softwareprogramma’s terugziet.

Euclides van Alexandrië

De exacte geboortedatum van Euclides van Alexandrië is onbekend. Sterker nog, zelfs zijn geboortejaar, het decennium of zelfs de eeuw waarin hij leefde zijn niet exact bekend. Volgens Proclus Diadochus, een Griekse filosoof en wiskundige, die leefde van 412 tot 485 na Christus en die als de belangrijkste informatiebron geldt ten aanzien van de persoon Euclides, leefde Euclides in de tijd van Ptolemaeus I, de koning van Egypte. Deze regeerde van 323 tot 285 voor Christus. Volgens Proclus Diadochus zou Ptolemaeus aan Euclides hebben gevraagd of hij de geometrie niet op een gemakkelijker manier kon leren begrijpen dan door het bestuderen van de Elementen, waarop Euclides de koning geantwoord zou hebben: “Er is geen koninklijke weg naar de meetkunde.” Of deze anekdote waar is, is natuurlijk maar zeer de vraag. Proclus Diadochus leefde ruim zeven eeuwen later als Euclides, dus je kan je de vraag stellen hoe betrouwbaar zijn informatie over Euclides is.

In ieder geval leefde Euclides voor Archimedes, want in één van diens geschriften haalt deze ‘de Elementen’ van Euclides aan. Aangezien Archimedes leefde van 287 voor Christus tot 212 voor Christus zou het inderdaad kunnen zijn dat Euclides in de vierde eeuw voor Christus leefde ten tijde van koning Ptolemaeus.

Over de persoon Euclides weten we heel weinig. Hij zou zijn opleiding tot wiskundige genoten hebben aan de Akademeia, de beroemde leerschool in Athene, welke in 387 voor Christus was opgericht door Plato. Euclides zou daarna naar Egypte zijn vertrokken, waar hij de stichter zou zijn geweest van de wiskundige school van Alexandrië. Aangezien deze Egyptische stad in 330 voor Christus werd gesticht past dit in het beeld dat hij geleefd zou hebben ten tijde van koning Ptolemaeus I.

Maar dat is het dan ook wel, veel meer weten we niet over Euclides. Hoe hij er bijvoorbeeld uitzag is volkomen onbekend. Dat was echter voor veel schilders en beeldhouwers geen enkele belemmering om hem af te beelden. In de loop van de eeuwen zijn er allerlei portretten van Euclides geschilderd dan wel gebeeldhouwd, stuk voor stuk ontsproten uit de fantasie van de schilder dan wel van de beeldhouwer. Daar zaten overigens niet de minste schilders bij. Zie hieronder bijvoorbeeld hoe Euclides met een passer in de weer is, gezien door de ogen van Rafael. (Dit is een onderdeel van het fresco ‘De school van Athene’ dat Rafael maakte voor de appartementen van paus Julius II in het Apostolisch Paleis in het Vaticaan.)

Euclides rafael

En zie hier nog eens acht andere voorbeelden hoe kunstenaars Euclides hebben afgebeeld:

Euclides portretten

Euclides, hij schreef ook nog een viertal andere wiskundige werken, is beroemd geworden dankzij de ‘Elementen. In dit verzamelwerk – ze bestaan uit dertien boeken – staan bewijzen voor 465 wiskundige stellingen’. Hij begint de boeken eerst met een aantal wiskundige definities (in totaal staan er in de Elementen 131 definities), daarna volgen een vijftal postulaten (axioma’s; uitgangspunten) en een vijftal algemeenheden (stellingen die waar zijn maar die niet bewezen kunnen worden) en vanuit die zaken bouwt hij verder aan zijn wiskundig bouwwerk.

Euclides elementen

Nederlandstalige versie van de Elementen uit 1617; foto Frans van Schooten Sr.; Wikipedia

Voorbeelden van enkele definities zoals Euclides die opnam in de Elementen zijn:

  • Een punt is datgene wat geen deel heeft.
  • Een lijn is lengte zonder breedte.
  • De uiteinden van een lijnstuk zijn punten.
  • Een vlak is wat alleen lengte en breedte heeft.
  • Een cirkel is een vlakke figuur, omvat door een lijn, zodanig dat alle rechten die van éen der binnen deze figuur gelegen punten tot deze lijn neerdalen, gelijk zijn.
  • Parallelle lijnen zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen zijn en die als ze naar weerszijden tot in het oneindige worden verlengd, aan geen van beide zijden elkaar zullen ontmoeten.

De vijf postulaten (axioma’s) luiden:

  1. Twee punten kunnen verbonden worden door een rechte lijn.
  2. Elke rechte lijn kan eindeloos als rechte lijn uitgebreid worden.
  3. Bij een gegeven middelpunt en een gegeven straal kan een cirkel beschreven worden.
  4. Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk.
  5. Door een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdig aan die lijn. (Dit zogenaamde parallellenpostulaat is een latere versimpeling van het oorspronkelijke vijfde postulaat van Euclides. Zijn versie was wat ingewikkelder geformuleerd.) Lang heeft men overigens gedacht dat dit postulaat af te leiden moest zijn uit de eerste vier postulaten van Euclides maar dat bleek niet te bewijzen te zijn

De vijf algemeenheden (aannames waarvan iedereen vindt dat ze waar zijn) van Euclides luiden (vrij vertaald):

  1. Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde zijn gelijk aan elkaar. (Als A gelijk is aan C, en B is gelijk aan C, dan is A gelijk aan B)
  2. Als men aan gelijke dingen gelijke dingen toevoegt, dan zijn de totalen ook gelijk. (Als A gelijk is aan B, dan is A+C gelijk aan B+C).
  3. Als men van gelijke dingen gelijke dingen afneemt, dan zijn de resten ook gelijk. (Als A gelijk is aan B, dan is A-C gelijk aan B-C)
  4. Dingen die elk op elkaar passen zijn gelijk. (Als figuur A op figuur B past, en figuur B op A past, dan zijn de figuren gelijk)
  5. Het geheel is groter dan het deel. (A+B is groter dan A)

(Dit geldt uiteraard allemaal niet voor negatieve waardes van A, B en C.)

Met behulp van de definities, de vijf postulaten en de vijf algemeenheden onderbouwde Euclides vervolgens zijn bewijzen van de wiskundige stellingen in de Elementen. Deze manier van denken en werken heeft eeuwenlang wetenschappers beïnvloed, waaronder Copernicus, Newton, Descartes, Spinoza en Einstein.

Deze laatste verklaarde bijvoorbeeld dat er in zijn jeugd twee momenten waren die wetenschappelijk gezien grote indruk op hem hadden gemaakt. De eerste keer was het moment dat hij op vijfjarige leeftijd een kompas van zijn vader kreeg. Dat een naald altijd naar het noorden bleef wijzen, leerde hem dat er geheimzinnige krachten waren die om een verklaring vroegen. De tweede keer was toen hij op twaalfjarige leeftijd een boekje kreeg over de werkwijze van Euclides. Het leerde Einstein dat je theorieën kon en moest onderbouwen vanuit logische aannames.

Overigens heeft Euclides niet zelf alle stellingen in de Elementen bedacht en bewezen. Het werk omvat onder andere diverse stellingen van Pythagoras (deze leefde ruim twee eeuwen voor Euclides; ca. 570–495 voor Christus). Zo kan je in de Elementen o.a. de beroemde stelling van Pythagoras: “In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde. (A² + B² = C²) terugvinden (stelling I.47 in de Elementen). Ook omvat de Elementen stellingen die bedacht en bewezen zijn door Hippocrates van Chios (ca. 470–410 voor Christus) en Eudoxus van Cnidus (ca. 408–355 voor Christus). Een beetje oneerbiedig zou je kunnen zeggen dat de Elementen beschouwd kan worden als de Wiskunde- Wikipedia van de oudheid.

Het is ook niet duidelijk of Euclides de Elementen in zijn eentje heeft geschreven of dat er sprake was van meerdere auteurs en dat zijn naam aan het werk werd verbonden, omdat hij het hoofd was van de wiskundige school van Alexandrië.

De boeken van Euclides hebben een opbouw alsof ze in de moderne tijd geschreven zijn en vormen een mijlpaal in de wiskundige geschiedenis. Dit is echter niet de reden dat Euclides is opgenomen in dit overzicht van de mensen achter de computer. Dat is namelijk omdat de Elementen het eerste bewaard gebleven werk is waarin een algoritme wordt beschreven. Een algoritme is een reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd doel leidt. Iets wat je ook in alle moderne softwareprogramma’s ziet. Het algoritme wat in de Elementen staat (in deel 1 bij stelling 4) is de beschrijving hoe je de grootste gemene deler van twee getallen kan bepalen.

De grootste gemene deler van twee getallen is het grootste positieve gehele getal, waar beide getallen door gedeeld kunnen worden zonder dat er een rest overblijft. Een voorbeeldje: de grootste gemene deler van 14 en 21 is 7. Het algoritme dat Euclides beschreef om de grootste gemene deler van twee getallen A en B te vinden, werkt als volgt.

  • Stap 1: Noem het grootste van de beide getallen A, het andere B.
  • Stap 2: Trek B net zo vaak van A af totdat er 0 overblijft of een getal C kleiner dan B; Wanneer er na deze stap exact 0 overblijft, dan is B de grootste gemene deler. Anders ga naar stap 3.
  • Stap 3: Indien C kleiner is dan B maar niet 0, herhaal dan het algoritme met de getallen B en C.

Een voorbeeldje: stel je bent op zoek naar de grootste gemene deler van de getallen 85 en 34. Stap 1: A = 85; B = 34; Stap 2: 85-34 = 51; Het getal 51 is groter dan 34 dus stap 2 wordt herhaald: 51-34 = 17; Het getal 17 is kleiner dan 34 maar niet 0; er wordt overgegaan naar stap 3 met B = 34 en C = 17; Stap 3: 34-17 = 17 en nogmaals 17-17 = 0. Er blijft exact 0 over, oftewel 17 is de grootste gemene deler van 85 en 34.

Tegenwoordig zijn er snellere methodes bedacht om de grootste gemene deler te vinden, maar het algoritme van Euclides geldt als het oudste beschreven algoritme in de geschiedenis en daarmee heeft hij zijn plaats verdiend in dit overzicht.

Als computerprogramma geschreven zou zijn algoritme er zo uit kunnen zien:

Euclides GGD

Euclides zou zeggen:  “Quod erat demonstrandum.” – “Wat te bewijzen was.”