19. Leonardo da Pisa, ca. 1170 – ca. 1250; Wiskundige die de Arabisch-Indische cijfers inclusief het cijfer ‘0’ in Europa introduceerde.

Leonardo da Pisa, ca. 1170 – ca. 1250; Wiskundige die de Arabisch-Indische cijfers inclusief het cijfer ‘0’ in Europa introduceerde.

Heeft u zich op school wel eens het hoofd moeten breken over het probleem van de twee auto’s A en B, die zich op een afstand X van elkaar bevinden, en die met bepaalde snelheden naar elkaar toe rijden, waarbij de vraag is waar en wanneer ze elkaar tegen komen?

Troost u dan met de gedachte dat studenten in de dertiende eeuw zich ook al met dit probleem bezig moesten houden, alleen toen betrof het uiteraard geen auto’s die naar elkaar toe reden, maar twee slangen die zich naar elkaar toe bewogen. Het was een opgave uit het boek ‘Liber abbaci’ van Leonardo da Pisa. Met dit boek introduceerde hij in Europa de Arabisch-Indische cijfers 1 t/m 9 plus het cijfer 0.

Hoe Leonardo da Pisa er uit zag weten we niet. De enige historische afbeelding van Leonardo da Pisa is er eentje uit de 19e eeuw. Het is een tekening van een jonge Leonardo zoals die verscheen in een boek uit 1850.

16 leonardo portret

Gezien het feit dat er geen afbeeldingen van Leonardo da Pisa bekend zijn ouder dan deze, kunnen we er wel gevoeglijk vanuit gaan dat elk gelijkenis van Leonardo da Pisa met deze afbeelding louter op toeval zal berusten. Datzelfde zal ook gelden voor een standbeeld uit 1863 gemaakt door de bekende Italiaanse beeldhouwer Giovanni Paganucci. 

16 Leoanrdo standbeeld

Leonardo da Pisa is één van de Italiaanse wetenschappers met als voornaam Leonardo en als achternaam een verwijzing naar de plaats waar hij vandaan komt. (Andere voorbeelden zijn Leonardo da Vinci  en Leonardo diCaprio. (Oké, die laatste is geen Italiaanse wetenschapper  maar een Amerikaanse filmster.) De minst bekende van dit drietal is Leonardo da Pisa, degene die de Arabisch – Indische cijfersystematiek van de cijfers 1 t/m 9 plus het (Hindu) cijfer ‘0’ in Europa introduceerde.

De naam Leonardo da Pisa – de Latijnse versie van zijn naam luidt Leonardo Pisano – is niet de naam waaronder veel mensen hem kennen. De meeste mensen kennen hem namelijk als Fibonacci. Die naam is een samentrekking van de woorden ‘Filius’ en ‘Bonacci’, oftewel ‘Kind’ van ‘Bonacci’. Dat doet vermoeden dat Bonacci de achternaam van zijn vader Gugliemlo is, maar of dat zo is, is twijfelachtig. ‘Bonacci’ was namelijk de bijnaam van de grootvader van Leonardo en niet diens familienaam – Bonacci betekent zoiets als ’goeierd’. 

Andere namen waaronder Leonardo di Pisa bekend staat, zijn Leonardus Pisanus, Leonardus filius Bonacij, Leonardus Pisanus de filiis Bonaccij, Leonardi Bigholli de Pisa (zo noemt hij zichzelf in een boek uit 1228) en Leonardus Bigollus – dat laatste schijnt iets te betekenen als ‘Leonardo die veel heeft gereisd’. Roept u dus maar. Kortom, een hoop onduidelijkheid omtrent zijn naam, maar in ieder geval was hij de kleinzoon van een goeierd.

Hoe het ook zit, omdat Leonardo da Pisa vandaag de dag vooral bekend staat onder de naam Fibonacci, zullen we in de rest van dit verhaal als achternaam voor Leonardo deze achternaam hanteren. Zelf troonde Leonardo da Pisa zichzelf in elk geval niet met de naam Fibonacci. Die naam duikt namelijk pas voor het eerst op in de negentiende eeuw. Het was een zekere Guillaume Libri die in 1838 in een boek met de naam op de proppen kwam. Hij baseerde zich hierbij vermoedelijk op de inleiding van het boek ‘Liber Abbaci’ dat Leonardo da Pisa in 1202 publiceerde.

Deze inleiding (in het Latijn) begint (vrij vertaald) als volgt: “Dit is het begin van het rekenboek samengesteld door Leonardi de zoon van de familie  bonacci (fibon bonacci) opgesteld in het jaar MCCII. (Even tussen haakjes, omdat Leonardo de lezers van het boek de nieuwe schrijfwijze van getallen nog niet heeft uitgelegd, schrijft hij in de inleiding het jaartal nog met hulp van de Romeinse cijfers en nog niet met de Arabische cijfers.) Vermoedelijk bedoelde Leonardo hier met ‘fibon bonacci’ dat hij deel uitmaakte van de familie van zijn grootvader Bonacci. 

16 Leonardo intro

De intro van het het boek uit 1228 met in de blauwe cirkel rechts de woorden ‘fibon Bonacci’ en in de groen cirkel links het getal 1202 (MCCII) in Romeinse cijfers.

Fibonacci

Waar Fibonacci geboren is, is wel duidelijk, dat is in Pisa. In  welk jaar weten we echter niet. Meestal wordt 1170 als zijn geboortejaar vermeld, maar ook 1175 komt wel eens voorbij. Pisa was in die tijd, samen met Venetië en Genua, één van de belangrijkste maritieme republieken die Italië in de Late Middeleeuwen kende. Maritieme republieken waren min of meer onafhankelijke stadsstaten, die elk een eigen vloot en leger hadden. Ze namen als stadsstaten bijvoorbeeld ook deel aan de kruistochten.

16 leonardo maritieme republieken

Weergegeven zijn de acht maritieme republieken zoals die tijdens de Late Middeleeuwen bestonden in Italië. Afbeelding Wikipedia.

De stadsstaat Pisa bestond van de 11e tot aan de 15e eeuw. Op onderstaand kaartje is te zien hoe groot de invloed van Pisa op zijn hoogtepunt was. De donkergroene delen op de kaart, zoals Corsica, de Balearen en een groot deel van Sardinië, waren door Pisa bezette gebieden. Met de lichtgroene gebieden onderhield Pisa stevige handelsbetrekkingen en had er handelsvestigingen gevestigd (de donkergroen blokjes geven deze vestigingen). De gele lijnen geven de belangrijkste handelsroutes van Pisa aan.

16 leonardo pisa kaart

In de steden met een handelsvestiging had Pisa allerlei vertegenwoordigers gestationeerd. Tot deze mensen behoorde ook Leonardo’s vader Gugliemlo (ook wel Guilichmus genoemd; oeps, beginnen we weer over namen). Leonardo’s vader vertegenwoordigde Pisa in de havenstad Bugia – het huidige Bejaia, een stad in Algerije. (Op het bovenstaande kaartje is Bugia het meest linkse zwarte blokje in Afrika). In de inleiding op zijn boek ‘Liber abbaci’ uit 1202 schrijft Fibonacci dat zijn vader “een publieke schrijver in douanerechten voor Pisaanse handelaren was, gevestigd in Bugia”. Meestal werden deze vertegenwoordigers als ‘notaris’ betiteld.

Over de rest van zijn familie weten we weinig. Hij had minstens één broer en zijn grootvader was, zoals al eerder gemeld, een ‘goeierd’. Dat is het. Over zijn moeder weten we bij voorbeeld helemaal niets.

Wel weten we dat Leonardo ergens tussen 1180 en 1200 met zijn vader meeging toen deze naar Afrika vertrok, maar in welk jaar precies is niet bekend. Leonardo zelf schrijft in zijn boek dat hij in Bugia was tijdens zijn kindertijd en dat hij daar werd onderwezen in de Indiaanse getallen – zo noemde hij het Arabisch – Indische getallenstelsel (met de cijfers 1 t/m 9 plus het cijfer ’0’).

Hij was erg enthousiast over de mogelijkheden die dit getallenstelsel bood. “De introductie en kennis van deze rekenkunst beviel me boven alles” zo schreef hij later in zijn boek. Hij kwam tot de conclusie dat hij met dit getallenstelsel veel gemakkelijker kon rekenen dan met het klassieke Romeinse getallenstelsel.

In de jaren daarop volgend verdiepte hij zich uitgebreid in het rekenen met dit getallenstelsel. Ook bestudeerde hij talloze werken van islamitische geleerden, zoals die van al-Khwārizmī. Daarnaast reisde Fibonacci, al of niet in gezelschap van zijn vader, naar verschillende steden in het Middellandse Zeegebied tot aan Constantinopel toe. Het leverde hem de bijnaam Leonardus Bigollus op (‘Leonardo die veel heeft gereisd’).

Liber Abbaci’

Omstreeks 1200 keerde Fibonacci, hij was toen een jaar of dertig, terug naar Pisa en begon hij te werken aan een wiskundig leerboek dat hij de titel ‘Liber Abbaci’ gaf (‘Het boek om te rekenen’). Het verscheen in 1202. Het was niet alleen bedoeld als leerboek om de lezer te onderwijzen in de kunst van het rekenen met de “nieuwe Indische getallen”, maar ook omvatte het hoofdstukken met (wiskundige) oplossingen voor allerlei praktische handelsproblemen

16 Leonardo eerste pagina

De eerste pagina van de herziene versie van het boek uit 1228. Het bevat een soort inhoudsopgave. De rode hoofdletters zijn de beginletters van de hoofdstuktitels van het boek. Helemaal onderop zie je in het rood de ‘nieuwe’ getallen 9 8 7 6 5 4 3 2 en 1 staan. De weergegeven pagina betreft een foto van een exemplaar uit circa 1300 dat zich is in de Biblioteca Communale di Siena bevindt.

16 Leonardo Pisano.SiennaNog twee pagina’s uit het boek. (De staat van het boek is niet zo best meer.) Links zijn in het zwart, aan de bovenkant van de bladzijde, de woorden ‘Aritmetica Leonardi Bigholli de Pisa’ te onderscheiden . Rechts laat een pagina zien met daarop diverse tabellen met getallen in de Arabische-Indische notatie. foto’s Keith Devlin.

Het boek telt vijftien hoofdstukken. In het eerste hoofdstuk (‘De cognitione novem figurarum Indorum) legt Fibonacci het ‘Indische’ getallenstelsel uit. “Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur...” zo begint hij het hoofdstuk met welke woorden hij direct de nieuwe schrijfwijze van de cijfers en het getal 0 introduceert.

In hoofdstuk 2 (‘De multiplicatione integrorum numerorum’) gaat hij in hoe je met de getallen kan vermenigvuldigen; hoofdstuk 3: (‘De additione ipsorum ad invicem’) behandelt het optellen; hoofdstuk 4 (‘De extractione minorum numerorum ex maioribus.’) gaat over het aftrekken van getallen en hoofdstuk 5 (‘De divisione integrarum numerorum per integros’ ) behandelt het delen.

De volgende twee hoofdstukken laten zien hoe je met breuken moet rekenen. In de tijd van Fibonacci kende men nog niet het systeem van decimale cijfers achter de komma om fracties van getallen aan te geven – als bedenker daarvan wordt meestal Al-Kashi (1380 – 1429) aangeduid –  maar schreef men deze fracties in de vorm van breuken. Zo schreef men niet 8,1 maar 8 1/10. Fibonacci schreef overigens het breukgedeelte altijd voor het gehele getal in plaats van er achter.

Het getal 8,1 schreef Fibonacci bijvoorbeeld als 1/10 8.

16 leonardo breukweergave

Na de hoofdstukken met rekenregels vervolgt het boek met vier hoofdstukken met daarin allerlei ‘praktische’ rekenvoorbeelden voor handelaren. Deze hoofdstukken gaan onder andere over de aan- en verkoop van goederen, ruilhandel,  omwisseling van valuta’s en – heel belangrijk voor handelaren – optimalisering van winst als je moet kiezen welke producten je moet verhandelen,

Na deze hoofdstukken volgt er een groot oefenhoofdstuk – dit hoofdstuk omvat ongeveer een derde van het boek –  met allerlei wiskundige oefeningen, waaronder als bekendste het konijnenprobleem: ‘Bepaal hoeveel konijnenparen je aan het einde van het jaar hebt, beginnend met één paar, als elk paar vanaf de tweede maand vruchtbaar zal zijn en dan één nieuw paar per maand voortbrengt’. Het antwoord op deze vraag leidt tot de beroemde reeks van Fibonacci – daar komen we later nog op terug.

Twee andere bekende opgaven uit het hoofdstuk zijn het spinnen- en het slangenprobleem. Het spinnenprobleem luidt: ‘Een spin klimt overdag een vaste afstand van 30 cm omhoog langs een muur van 2,40 m hoog, maar glijdt ‘s nachts weer 20 cm terug. Hoe lang duurt het voordat de spin bovenaan de muur is?

Het slangenprobleem gaat over twee slangen die zich in een toren bevinden. De ene op de bodem, de andere bovenin. Ze kruipen elk met een bepaalde snelheid naar elkaar toe, waarbij de vraag is waar en wanneer ze elkaar tegen komen. Een vraagstuk dat in allerlei vormen vandaag de dag nog steeds – meestal in de vorm van naar elkaar toe rijdende auto’s – aan scholieren en studenten wordt voorgelegd. Het zijn typisch opgaven voor een leerboek. Het boek wordt afgesloten met drie hoofdstukken met allerlei theoretische wiskundige beschouwingen.

Van de uitgave van het boek uit 1202 bestaan geen exemplaren meer. In 1228 verscheen een tweede herziene uitgave. Hiervan hebben een drietal exemplaren de vergankelijkheid van de tijd grotendeels overleeft. Daarnaast bestaan er ook nog elf exemplaren waarbij kleine of grote delen ontbreken. Van de drie bijna volledige exemplaren bevindt zich er eentje in de bibliotheek van het Vaticaan in Rome, eentje in de bibliotheek van Sienna en eentje in de bibliotheek van Florence. Van de overige elf exemplaren bevinden zich er drie buiten Italië en wel alle drie in Parijs.

Met de ‘Liber Abbaci’ begon de opmars van de Arabisch – Indische cijfers in Europa en verdween langzaam het gebruik van de Romeinse cijfers uit de dagelijkse praktijk. Nu was Fibonacci niet de eerste die een poging waagde om de Arabisch – Indische (Hindu) cijfers in Europa te introduceren. Zo’n twee eeuwen voor hem was Gerbert van Aurillac (de latere Paus Sylvester II) hem al voor gegaan, al kende deze latere Paus nog niet het cijfer nul. De poging van Gerbert van Aurillac was echter niet erg succesvol. Waarschijnlijk kwam dat mede omdat hij zich vooral richtte op de wetenschappers onder de geestelijken. Het boek van Fibonacci daarentegen was veel meer op de handel gericht en tja, als men er geld mee kan verdienen, dan staat men veel eerder open voor iets nieuws.

Aanvankelijk was er nog wel de nodige weerstand tegen de nieuwe schrijfwijze van de getallen – het stadsbestuur van Florence was bijvoorbeeld lang tegen het gebruik van de nieuwe cijfers. Ze waren bij voorbeeld bang dat een kwaadwillige de 0 in een schuldbewijs zomaar in een 9  zou kunnen veranderen. Ook de kerk vond het aanvankelijk maar niks, maar na verloop van tijd werd door steeds meer mensen gebruik gemaakt van het nieuwe getallenstelsel, eerst in Italië, daarna elders in Europa.

Fibonacci werd dankzij zijn boek en cijfers een beroemdheid bij bestuurlijk Europa. Zo werd hij bijvoorbeeld ontvangen door keizer Frederick II die sinds 1198 niet alleen koning van Sicilië was maar vanaf 1215 ook Duits koning en van 1220 tot 1250 tevens keizer van het Heilige Roomse Rijk was. Ook kreeg Fibonacci vanaf 1240 van de stad Pisa een jaarlijkse vaste vergoeding vanwege “zijn verdiensten als belastingconsulent en controleur van de stad en voor toekomstige diensten van dit soort”.

Naast zijn ‘Liber Abbaci’ publiceerde Fibonacci nog een aantal boeken. In 1220 publiceerde hij ‘Practica Geometriae’. In dit boek behandelt hij een groot aantal meetkundige problemen en gaat hij in op het werk van Euclides. Andere door hem geschreven boeken zijn ‘Flos’ (1225)  waarin hij oplossingen gaf voor een aantal wiskundige problemen die waren aangedragen door de wiskundige Johannes van Palermo en ‘Liber Quadratorum’, eveneens uitgegeven in 1225; dit boek gaat over de getallentheorie, met name over kwadraten. Daarnaast schreef Fibonacci nog twee boeken, eentje over handelsrekenen en eentje over de wiskunde van Euclides, maar van beide werken bestaan geen exemplaren meer.

Fibonacci overleed ergens tussen 1240 en 1250  – vaak wordt 1242 als het jaar van zijn overlijden genoemd maar dat is niet zeker. Hij is waarschijnlijk een jaar of zeventig geworden.

Nog eeuwenlang zou Fibonacci’s boek overal in Europa als leerboek worden gebruikt, waardoor de Arabisch-Indische cijfernotatie uiteindelijk het getallenstelsel van de wereld zou worden.

De reeks van Fibonacci.

Tot slot nog even terugkomend op de reeks van Fibonacci. Dat is de reeks van getallen waarbij ieder getal in de reeks de som is van de 2 voorgaande getallen. De reeks begint als volgt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 enzovoorts.  Om het even wetenschappelijk in een formule weer te geven:

16 rij van fibonacci

De eerste vijftig getallen van deze reeks zien er als volgt uit:

16 reeks van FibonacciDe getallen worden al heel snel heel groot. Zo is het vijftigste getallen uit de reeks al groter dan 12,5 miljard.

Het begin van deze getallenrij vind je als je het eerder vermelde konijnenprobleem van  Fibonacci oplost. Na één maand is er één konijnenpaar, na twee maanden nog steeds maar één paar, na drie maanden zijn er twee konijnenparen, na vier maanden drie paren, na vijf maanden vijf konijnenparen. Na zes maanden heb je acht konijnenparen (waarvan er vijf vruchtbaar zijn en drie nog niet vruchtbaar). (Zie de onderstaande afbeelding.)

16 Leonardo konijnenVisuele weergave van het aantal konijnenparen per maand voor de eerst zes maanden; de konijnenparen met een gekleurd balletje (rood of blauw)  zijn vruchtbaar en kunnen elke maand twee jongen krijgen. Deze jongen zijn de eerste maand nog niet vruchtbaar en hebben dan geen gekleurd balletje; De maand er op volgend zijn ze wel vruchtbaar en krijgen ze ook een gekleurd balletje; Afbeelding afkomstig van de Finse Wikipedia.

Dit proces gaat zo door tot en met de twaalfde maand. Per maand bekeken zie je hier het begin van de de reeks van Fibonacci  (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89, 144, 233). Na twaalf maanden heb je 233 konijnenparen (waarvan 144 vruchtbaar en 89 nog niet vruchtbaar), zijnde de oplossing van het probleem van Fibonacci. (Na ruim vier jaar zou je met deze voortplantingssnelheid 12,5 miljard konijnen in je hok hebben zitten.)

Wat wetenschappelijker door Fibonacci uitgelegd zie het er in Latijn als volg uit:

16 Leonardo konijnenpagina

Pagina uit het boek van Fibonacci waar hij het konijnenprobleem inclusief de oplossing beschrijft.

Een soortgelijke reeks vind je ook als je kijkt hoeveel voorouders een dar (dat is een mannetjesbij) heeft. Over hoe het werkt met de voortplanting van bijen citeer ik eerst even een stukje zoals dat staat op de site ‘voorde wereldvanmorgen’. Het is geschreven door een zekere Milene, een voormalige imker, en zij kan de voortplanting van bijen veel beter uitleggen dan ik.

Het begint allemaal met het uitkomen van een nieuwe koningin, ook wel moer genoemd. In de namiddag vliegen de jonge moeren uit naar een plaats waar de darren (mannetjesbijen) zich verzameld hebben. De darren achtervolgen de moer en alleen de snelsten kunnen met haar paren. Dit gebeurt allemaal tijdens de vlucht, ook wel bruidsvlucht genoemd. 

De paring gaat snel en duurt hooguit enkele seconden. Ze paart met zo’n 10 tot 20 darren om zoveel mogelijk zaadcellen te verzamelen voor de rest van haar leven. Ze heeft ruimte voor ongeveer 5 miljoen zaadcellen in haar achterlijf maar kan tot wel 80 miljoen zaadcellen ontvangen tijdens de vlucht. Zodra de dar de moer bevrucht heeft sterft hij. Bij het afgeven van de zaadcellen scheurt zijn achterlijf namelijk open. Dit overleeft hij niet.

De bevruchte moer keert terug naar het nest en ongeveer twee tot drie dagen later begint ze met het leggen van eitjes in de cellen van de raat. Voordat de moer een ei in een cel deponeert onderzoekt ze de afmetingen van de cel met haar voorpoten. Wanneer het een grotere (darren)cel betreft wordt het ei afgezet zonder dat er zaadcellen worden toegevoegd, een onbevrucht ei. Hier kan dan alleen een mannetje uit komen kruipen. De kleinere (werkster)cellen worden gebruikt voor bevruchte eitjes, waar dus wel een zaadcel is toegelaten en uiteindelijk een werksterbij uit zal kruipen.

Enkele bevruchte eitjes worden in een extra grote verticale cel gelegd en gedurende het larve stadium veel vaker gevoerd met speciaal hoogwaardig voer, ook wel koninginnegelei. Deze bevruchte eitjes groeien uit tot koninginnen. Koninginnen worden alleen geboren wanneer de bijen besluiten te zwermen, oftewel ze gaan op huizenjacht.”

Tot zover hoe het in de praktijk met de bloemetjes en de bijtjes gaat. Nu maken we het wiskundig. Als de koningin een bevrucht eitje legt, dan groeit het dus altijd uit tot een vrouwtjesbij. Als het eitje niet wordt bevrucht, dan groeit het uit tot een dar (een mannetjesbij). Een mannetjesbij heeft dus altijd maar één ouder (de koningin), de werksters hebben twee ouders, de koningin en één van de darren. Ook de koningin – het is een vrouwtje – heeft altijd twee ouders. Kijk je nu terug in de tijd naar de voorouders van een bij dan krijg je dit plaatje.

16 rij van fibonacci bijene

Als je nu het aantal bijen per generatie gaat tellen, dan zie je weer de rij van Fibonacci (1, 2, 3, 5, 8 enzovoorts, enzovoorts) ontstaan. Volgens sommige bronnen zou Fibonacci, omdat honing in zijn tijd een belangrijk product was, zijn reeks gebaseerd hebben op bijen en niet op konijnen, maar daar kan je vraagtekens bij stellen, wat we dus ook zullen doen. Had Fibonacci wel deze kennis over de voortplanting van bijen? En waarom zou hij het in zijn boek dan het voorbeeld van konijnen gebruiken en niet dat van bijen?

Maar goed, ook de reeks voorvaderen van een bij levert een reeks van Fibonacci op. Niet dat imkers daar veel mee kunnen. (Met de reeks van Fibonacci kan je in de wiskunde wel een paar leuke dingen doen, maar die zijn voor niet-wiskundigen niet echt boeiend.)

Fibonacci was overigens niet de eerste die met de reeks op de proppen kwam. Anderen gingen hem voor. Zo kwam liefst veertienhonderd jaar eerder al de Indiaanse taalkundige Pingala met dezelfde getallenrij op de proppen, maar dan als oplossing van het aantal verschillende mogelijkheden hoe je met korte en lange klanken een dichtregel van een bepaalde lengte kon maken. Ook de Indische wetenschapper Virahanka vermeldde de reeks in de zesde eeuw in één van zijn werken. Echter zowel Pingala als Virahanka raakten in de vergetelheid, waardoor deze rij van getallen nu bekend staat als de reeks van Fibonacci en niet als de reeks van Pingala.

Gulden snede

De reeks van Fibonacci heeft nog iets bijzonders, namelijk dat, als je telkens de twee op elkaar volgende getallen uit de reeks op elkaar deelt, je steeds een betere benadering krijgt van het zogenaamde gulden snede getal, zijnde 1,61803, meestal aangeduid met de Griekse letter φ (phi);

(Neem bijvoorbeeld de vier Fibonacci-getallen 34, 55, 89, 144 en deel deze opeenvolgende Fibonacci-getallen door het voorafgaande Fibonacci-getal, dan krijg je een reeks die telkens dichter het gulden snede getal benadert; 55/34 =  1,6176; 89/55 = 1,6181 en 144/89 = 1,6180.)

De gulden snede is van oorsprong een wiskundige iets. Stel je verdeelt een lijnstuk in twee delen. Het ene deel heeft een lengte a, het andere deel heeft een lengte b.

16 Leonardo gouden snede

Als nu de verhouding tussen a en b gelijk is aan de verhouding tussen a en de totale lengte van de lijn, oftewel als b/a = a/(a+b) dan spreek je over een gulden snede verhouding. Dat treedt op als het a-deel ongeveer 61,8% en het b-deel circa 38,2% van de totale lijn a+b vormt. Er geldt dan a/b = (a+b)/a = 1,61803.  Dit getal noem je het gulden snede getal. Euclides schreef al over deze wiskundige verhouding.

Tot de negentiende eeuw was de gulden snede puur een wetenschappelijk iets, namelijk de oplossing van het wiskundeprobleem waarbij gold dat b/a = a/(a+b). Had je niet veel aan. Pas in de negentiende eeuw legde men een verband met ‘schoonheid’. Dit omdat voorwerpen met een gulden snede verhouding (1,618 : 1) door mensen vaak als prettig worden ervaren om naar te kijken.

Zo bleken bepaalde schilderijen, bijvoorbeeld ‘De geboorte van Venus’, geschilderd omstreeks 1484 door Sandro Botticelli,  een gulden snede afmeting te hebben. (‘De geboorte van Venus’ heeft de afmetingen van 278 cm breed en 172 cm hoog, dat is een verhouding van 1,61 staat tot 1, oftewel bijna de gulden snede verhouding).

16 leonardo schilderij

Ook in de natuur ziet men soms dergelijke verhoudingen terug, onder andere bij bepaalde bloemen (en ook bij bloemkool!). Maar om de boel te relativeren, veel vaker zie je deze verhouding niet terug en desondanks wordt iets dan toch als mooi ervaren.

16 Leonardo sterrenacht

Het schilderij ‘Sterrennacht’ van Vincent van Gogh. Het heeft de afmetingen van 92 cm bij 72 cm. Dat is een verhouding van 1,28 staat tot 1. Ook de draaiende sterren laten nergens de gulden snede ratio zien. Desondanks vinden veel mensen dit schilderij mooi.

De reeks van Fibonacci en de gulden snede is dan ook niet de reden dat Fibonacci is opgenomen in deze serie over mensen achter de computer. Dat is omdat Leonardo da Pisa degene is die het Arabisch-Indische getallenstelsel inclusief de nul in Europa introduceerde.

 

My WordPress Blog