14. Mohammad ibn Musa al-Khwarizmi; ca. 780 – ca. 850; Perzische wiskundige naar wie het begrip algoritme is vernoemd

Moḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī; ca. 780 – ca. 850; Perzische wiskundige naar wie het begrip algoritme is vernoemd.

10 AL postzegel

(Moḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī zoals hij staat afgebeeld op een Russische postzegel uit 1983. Het getal 1200 op de postzegel slaat op ‘het feit’ dat hij dat jaar 1200 jaar eerder geboren zou zijn. Of dat klopt en of hij er daadwerkelijk zo heeft uitgezien, is niet zeker.)

Zeggen de namen Alois Alzheimer, André Ampère, William Boeing, Charles Boycott, Louis Braille, Anders Celsius, Rudolph Diessel, Gabriel Fahrenheit, William Frisbee, Joseph Guillotin, R.J. Guppy, Henry Heimlich, Charles Lynch, Maria Montessori, Samuel Morse, James Parkinson, Ivan Pavlov, Charles Richter, Adolphe Sax, the Earl of Sandwich, Paul Stroganoff, George Gilles De Tourette en Ferdinand Zeppelin u iets?  

Het zijn allemaal mensen naar wie een ziekte, een eenheid, een product, een gebeurtenis, een gerecht, een dier of een begrip zijn genoemd. In dit rijtje pas ook Mohammed ibn Moesa al-Khwarizmi, een Perzische wiskundige uit de negende eeuw die onder andere het boek ‘Hisab al-jabr wa al-muqabala’ schreef. 

Het zou overigens best wel eens kunnen dat u niet direct zijn naam herkent. Het gaat om het ‘al-Khwarizmi’ gedeelte uit zijn naam. Spreekt u de naam maar eens hardop uit. Misschien hoort u dan iets wat vaag lijkt op het woord ‘algoritme’, een reeks instructies om van een bepaalde begintoestand naar een gewenste resultaat te komen, iets wat gebruikt wordt in computers. En herkent u het woord ‘al-jabar’ uit de titel van zijn boek ‘Hisab al-jabr wa al-muqabala’? Deze term is later “vertaald” tot ‘algebra’. Aan al-Khwarizmi hebben we dus zowel de woorden algoritme als algebra te danken.

Moḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī

Vermoedelijk is Mohammad ibn Musa al-Khwarizmi – over zijn exacte naam zijn de geleerden het niet helemaal eens – omstreeks het jaar 780 geboren in Khiva, een stad gelegen in Chorasmië, een gebied dat thans deels tot Oezbekistan en deels tot Turkmenistan behoort. De naam al-Khwarizmi betekent ‘uit Chorasmië’.

10 AL standbeeld KhivaEen standbeeld van al-Khwarizmi in zijn (vermoedelijke) geboorteplaats Khiva; foto Yunuskhuja Tuygunkhujaev; Wikipedia

Chorasmië maakt in die tijd onderdeel uit van het Kalifaat van de Abbasiden, een groot Islamitisch rijk, geregeerd door de Abbasiden-dynastie. Het rijk zal ongeveer 500 jaar bestaan (van ± 750 tot ± 1250). Het is naast het Chinese rijk het grootste rijk uit die tijd.

10 al rijk

Het Kalifaat van de Abbasiden op zijn hoogtepunt omstreeks 820. Het gele cirkeltje is Khiva, de vermoedelijke geboorteplaats van al-Khwarizmi. De hoofdstad van het rijk (het rode cirkeltje) is Madinat al Salam (stad van de vrede), thans beter bekend onder de naam Bagdad. Het is ook deze plaats waar naar verluidt al-Khwarizmi en zijn familie in zijn jeugd naar toe verhuisden. (Sommige bronnen laten de familie van al-Khwarizmi overigens al voor zijn geboorte verhuizen naar de omgeving van Bagdad).

Veel weten we niet over de persoon al-Khwarizmi. Wel dat hij in ieder geval tussen 810 en 835 werkzaam is in het ‘Bayt al-Hikma’ (het Huis der Wijsheid), één van de belangrijkste wetenschappelijke instellingen van Bagdad. Oorspronkelijk is  het een bibliotheek voor kalief Haroen ar-Rashid (ca. 766-809). Men verzameldt er niet alleen boeken, maar vertaalter ook veel, waaronder allerlei oude Griekse boeken.

Later wordt het “Huis der Wijsheid” vooral een wetenschaps-instituut. In 820 zou al-Khwarizmi naar verluidt er het hoofd van de bibliotheek zijn geworden. Vandaag de dag bestaat het Huis der Wijsheid niet meer. Nadat de Mongolen in 1258 Bagdad veroveren, wordt het, net zoals het grootste gedeelte van Bagdad, met de grond gelijk gemaakt. Alle boeken worden in de Tigris gegooid, waardoor volgens de verhalen het water zwart van de inkt kleurde, gemengd met het rood van het bloed van de vermoorde inwoners. (De Mongolen hielden vreselijk huis in Bagdad. De schattingen van het aantal om het leven gebracht inwoners na de val van de stad variëren van 100.000 tot 1.000.000)

10 AL huis der wijsheid

Het huis van de Wijsheid afgebeeld in een Arabisch manuscript uit 1237, zo’n 20 jaar voordat de Mongolen het huis vernietigden.

Al-Khwarizmi bestudeert in het Huis der Wijsheid vooral wiskunde, astronomie, geografie en cartografie. Vooral op het gebied van de wiskunde is hij baanbrekend bezig met wat we nu algebra noemen, in die tijd nog een veelal onontgonnen gebied. De oude Grieken houden zich vooral bezig met geometrie, zoals driehoeken, veelhoeken, cirkels, kegels en cilinders, maar al-Khwarizmi is meer geïnteresseerd in het oplossen van ‘algebraïsche’ vergelijkingen zonder veel gebruik te maken van de geometrie.

De achtergrond van het zoeken naar oplossingen voor dit soort vergelijkingen is het oplossen van praktische problemen, zoals de vraag op hoeveel loon een stenensjouwer recht heeft als hij voor twaalf dagen werk een bedrag X heeft afgesproken terwijl hij maar 10 dagen komt werken.

In zijn boek ‘Hisab al-jabr wa al-muqabala’ (“de theorie van transformatie en herstel”) – het verschijnt vermoedelijk voor het eerst omstreeks 820 –  beschrijft hij onder andere hoe je alle lineaire en kwadratische vergelijkingen kan herleiden tot één van de volgende zes vormen.

  1. Het kwadraat is gelijk aan een wortel. (ax² = bx)
  2. Het kwadraat is gelijk aan een getal. (ax² = c)
  3. De wortel is gelijk aan een getal. (bx = c)
  4. De kwadraten en de wortels zijn samen gelijk aan getal (ax² + bx = c)
  5. De kwadraten en een getal zijn samen gelijk aan een wortel (ax² + c = bx)
  6. De wortels en een getal zijn samen gelijk aan de kwadraten (bx + c = ax²)

De terminologie en het gebruik van de woorden kwadraten, wortels en getallen is zoals al-Khwarizmi het formuleerde. De tussen haakjes staande wiskundige vergelijkingen zijn de wiskundige formules van vandaag de dag, zoals die bij zijn vergelijkingen horen. In de tijd van al-Khwarizmi bestonden de symbolen ‘x’, ‘:’, ‘+’ en ‘–‘ en dergelijke nog niet. Alle “formules” worden door al-Khwarizmi  dan ook volledig als tekst uitgeschreven.

10 AL pagina uit het boek

Een pagina uit zijn algebra boek uit een versie uit 863 met alleen geschreven tekst; geen formules.

Wat nu volgt is een klein stukje (simpele) wiskunde. Degenen die daar wat moeite mee hebben of het niet zo interessant vinden, mogen dit stuk overslaan. Of u kunt zich beperken tot het bekijken van de plaatjes. Hoewel, erg boeiend zijn die niet. Ze zijn afkomstig uit de boeken van al-Khwarizmi. Die kunt u dus eigenlijk ook wel overslaan. Gewoon weer aansluiten als u de woorden ‘welkom terug’ ziet. Voor wie nu tijdelijk afhaakt:

Tot straks.

Voor de volhouders: Behalve de zes vormen van al-Khwarizmi zijn er meerdere manieren om lineaire en kwadratische vergelijkingen te herschrijven, maar omdat de Arabieren in de tijd het gebruik van negatieve getallen niet kenden, kon bijvoorbeeld een vorm als ax + b = 0 volgens hen niet bestaan. Dit omdat in het geval als a en b beide positief zijn, er geen positieve oplossing voor x bestaat. Het ‘niet-bestaan’ van negatieve getallen is dan ook de reden dat al-Khwarizmi de vormen 4 t/m 6 als aparte vormen zag. Tegenwoordig ziet men deze drie vormen als één en dezelfde vorm, maar op een andere manier geschreven.

Om een (kwadratische) vergelijking op te lossen maakt al-Khwarizmi gebruik van twee methodes; de al-ğabr (“het verplaatsen”) en de al-muqabala (“het verminderen”) om tot één van zijn zes vormen te komen, de vormen waarvoor hij standaard oplossingsmethoden heeft bedacht

Met de ‘al-ğabr’ verplaatst hij eerst alle factoren die een negatief teken hebben naar de andere kant van de vergelijking, zodat alle waarden in een vergelijking een positief teken hebben. Neem bijvoorbeeld de vergelijking 3x = x² – 4. Hij verplaatste dan in deze vergelijking de negatieve factor “-4” van de rechterkant naar de linkerkant van de vergelijking. Dit resulteert dan in de vergelijking 3x +4 =  x², waarmee hij op vorm  6 van zijn zes vormen uit komt. (De oplossing van deze vergelijking is x =4.)

Als er alleen (nog) maar positieve tekens in de vergelijking te zien zijn, dan past hij zijn ‘al-muqabala’ – algolritme toe. Hierbij gaat hij de vergelijking herhaald schonen. Dat houdt in dat hij beide kanten van de vergelijking telkens vermindert met een gelijke hoeveelheid  x², x  of een constante. Net zolang totdat uiteindelijk x², x en de constanten maar aan één van de twee zijden van de vergelijking staan.

Neem bij voorbeeld de vergelijking 3x² + 5x + 15 = x² + 14x + 8. Aan beide kanten komen x², x en constanten (15 en 8) voor. Dit vindt al-Khwarizmi ongewenst. Daarom vermindert hij zowel de linker en rechterkant van de vergelijking eerst allebei met x². Het resultaat van deze actie is 2x² + 5x + 15 = 14x + 8. ( Hierdoor staat x² nog maar aan één kant van de vergelijking.) Vervolgens “vermindert” hij beide kanten met 5x. Dit resulteert dan in 2x² + 15 = 9x + 8. (Nu staat ook x nog maar aan één kant van de vergelijking.) Tot slot vermindert hij beide zijden van de vergelijking  met het getal 8, wat 2x² + 7 = 9x opleverde.

De  oorspronkelijk vergelijking 3x² + 5x + 15 = x² + 14x + 8 is daarmee veranderd in 2x² + 7 = 9x  , waarmee hij op vorm 5 van zijn zes vormen is uitgekomen (de oplossing van deze vergelijking luidt x =1).

Voor elk van zes basisvormen had al-Khwarizmi een methode bedacht om de vergelijking op te lossen. Hierbij maake hij onder ander gebruik van worteltrekken en wat in het Engels zo mooi “completing the square” heet (in het Nederlands ‘kwadraatsplitsen’). Hierbij wordt een vergelijking van het soort ax² + bx +c = o verandert in a(x + d)² + e = 0. Neem bijvoorbeeld x² – 6x + 9 = 0.  Dit kunnen we ook schrijven als: (x – 3)² = 0 (met als antwoord x = 3).

Stel nu echter dat de vergelijking  niet luidt x² – 6x + 9 = 0 , maar dat de vergelijking luidt: x² – 6x + 5 = 0. Nu kom je links dus vier “tekort” (5 versus 9) om x² – 6x + 5  te vertalen in (x – 3)². Maar door nu aan beide zijden van de vergelijking  ‘4’ op te tellen (“completing the square”), kan je er links weer een kwadraat van maken. De vergelijking x² – 6x + 5 = 0 wordt dan x² – 6x + 9 = 4. Dat kan je herschrijven als (x – 3)² = 4. (En aangezien de wortel van 4 gelijk is aan 2, volgt hieruit dat (x-3) = 2 en daarmee is dus x =5 het juiste antwoord.

10 AL pagina uit het boek 1342Twee pagina ‘s uit een versie van het boek van al-Khwarizmi uit 1342. De grafische uitwerking van het “completing the square” principe is in de tekeningen onder aan de bladzijden te zien.

Ik vermoed nu dat ondertussen alle lezers zijn afgehaakt, dus kan ik gerust stoppen met dit wiskundig gedoe en de tijdelijk afgehaakte lezers weer terug verwelkomen.  Bij deze dus:

Welkom terug

Het boek wordt regelmatig herdrukt. (Voordat de boekdrukkunst werd uitgevonden kwam dit neer op handmatig overschrijven.) Eén van die exemplaren belandt in de twaalfde eeuw met de Moren in Spanje. Daar wordt het in 1150 opgepikt door de Engelse Arabist en wetenschapper Robert of Chester. Deze neemt het boek mee terug naar Engeland en vertaalt het in het Latijn. Hierdoor komt het boek onder ogen van Europese wetenschappers en kunnen de ideeën van al-Khwarizmi zich verder verspreiden. Het boek geldt als één van de belangrijkste boeken in de geschiedenis van de wiskunde.

Het bovenstaande boek is niet het enige wiskunde boek van al-Khwarizmi dat belangrijk is voor de ontwikkeling van de wiskunde. Nadat al-Khwarizmi het werk leert kennen van de Indiaanse wiskundige Brahmagupta, raakt hij zeer begeesterd over diens ideeën ten aanzien van het getal nul. Hij schrijft zijn gedachten hierover in het boek ‘Kitāb al-Jam wa-Tafrīq bi-Ḥisāb al-Hind’, wat zoiets als ‘het boek van optellen en aftrekken volgens de Hindoe-traditie’ betekent. Hij combineert hierin het gebruik van het Arabisch tientallig stelsel met het gebruik van het getal 0 en introduceert aldus ons moderne tientallig stelsel. In het begin van de twaalfde eeuw wordt ook dit boek in het latijn vertaald en wel door een zekere Adelard of Bath, een Engelse wetenschapper die door heel Europa en westelijk Azië reist.

10 AL boek

Een enigszins beschadigde pagina uit een Latijnse uitgave van het boek uit 1857. De oorspronkelijke, in het Arabisch geschreven, versies van het boek van Al-Khwarizmi zijn allemaal verloren gegaan.

Het boek van al-Khwarizmi over hoe te rekenen met een tientallig stelsel, inclusief het gebruik van het getal 0 zorgt voor de grote doorbraak van de Arabische getallennotatie in Europa. Met dit stelsel kan veel gemakkelijker gerekend worden dan met de Romeinse cijfers. Via Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci, belandt het boek in 1202 in Italië. Tot in de zestiende eeuw wordt het boek van al-Khwarizmi bij veel universiteiten in Europa nog als leerboek gebruikt.

Adelard of Bath vertaalt ook nog een ander boek van al-Khwarizmi over astronomie, getiteld ‘Zij al-sindhind’ (“astronomische tabellen van Siddhanta “), in het Latijn. De vertaling is gebaseerd op een in 1008 uitgegeven herziene versie van het boek door de Spaanse Islamitische astronoom al-Majrītī. Het boek bevat veel tabellen over de bewegingen van de zon, maan en de vijf in die tijd bekende planeten. Ook bevat het hoofdstukken met sinus- en cosinus-tabellen. Het boek is grotendeels gebaseerd op het werk van Indische astronomen.

Van zijn andere werken is het in 833 verschenen ‘Kitāb Ṣūrat al-Arḍ’, (‘Hoe de aarde er uit ziet’) – een geografieboek –  het bekendst. In dit boek staan de  geografische coördinaten van de belangrijkste 2400 plekken uit die tijd vermeld. Het in 833 verschenen boek bevat een kaart, waarbij de toen bekende wereld is verdeeld in zeven gelijke delen. Deze kaart is een verbeterde versie van de wereldkaart van Ptolemaeus, een Griekse astronoom en geograaf uit de tweede eeuw.)

10 AL wereldkaartEen kopie uit 1482 van de wereldkaart van Ptolemaeus uit 150 na Christus. De kaart van al-Khwarizmi  was hier op gebaseerd

In zes verschillende hoofdstukken: steden (hoofdstuk 1), bergen (hoofdstuk 2), zeeën (hoofdstuk 3), eilanden (hoofdstuk 4), regio’s (hoofdstuk 5) en rivieren (hoofdstuk 6)  staat in de Kitāb Ṣūrat al-Arḍ’ aangegeven waar men deze plaatsen met hulp van coördinaten op de kaart kan vinden. De Atlantische Oceaan en de Indische Oceaan worden als open zeeën aan de rand van de kaart weergegeven. Het middelpunt van de kaart heeft al-Khwarizmi gesitueerd aan de oostkust van de Middellandse Zee.

Er bestaat nog één origineel Arabische exemplaar van het boek. Dit bevindt zich in de bibliotheek van de universiteit van Straatsburg. (In het exemplaar ontbreekt overigens de wereldkaart. Deze heeft men later gereconstrueerd aan de hand van de coördinaten van de plaatsen.) Alle overige exemplaren van het boek zijn in de loop van de tijd verloren gegaan, wellicht zijn ze door de Mongolen in de Tigris gegooid. Overigens schrijft al-Khwarizmi het boek, net zoals vermoedelijk de rest van zijn boeken, niet in zijn eentje, maar heeft hij de hulp van een grote groep Arabische wetenschappers. Ze werken in het Huis der Wijsheid veelal in teams.

Al-Khwarizmi schrijft ook nog verhandelingen over mechanische apparaten zoals een astrolabium (dat is een instrument waarmee men de hoogte van hemellichamen ten opzichte van de horizon kan meten; al-Khwarizmi ontwerpt  een verbeterde versie van het apparaat), een klok en een zonnewijzer. Ook schrijft  hij over de Hebreeuwse kalender.

10 AL standbeeld

Standbeeld van al-Khwārizmī zoals dat staat voor het  wiskunde-faculteitsgebouw van de Amirkabir Universiteit in Teheran; In zijn hand heeft hij een astrolabium. foto M. Tomczak: Wikipedia

Het exacte jaar waarin Al-Khwarizmi overlijdt is niet bekend. Vermoedelijk sterft hij ergens tussen 840 en 850. Behalve in het begrip algoritme leeft zijn naam ook voort als krater op de maan.  Eén van de kraters op de achterzijde van de maan is naar hem vernoemd. Ook een asteroïde uit de planetoïdengordel draagt zijn naam.

10 AL krater

De Al-Khwarizmi Krater (AS11-42-6282), zoals deze in 1969 door de bemanning van de Apollo 11 is gefotografeerd.

Aanvulling: In een eerdere versie van dit verhaal stond dat Al-Khwārizmī van Arabische afkomst was. Een lezer (Said Oulad Said) wees mij er op dat Al-Khwārizmī van Perzische afkomst was. Hij heeft gelijk. Ik heb het aangepast.

 

 

My WordPress Blog