13. Brahmagupta, 598 – 668, formuleerde als eerste regels hoe te rekenen met het getal nul

Brahmagupta, 598 – 668, definieerde als eerste het getal nul en gaf rekenregels hoe je met het getal nul moest rekenen.

9 bharm nullen

Computers leven van enen en nullen. Ok, ook een beetje van stroom en algoritmes (instructies) maar verder draait het bij een computer vooral om enen en nullen. Het getal nul is één van de belangrijkste getallen in de wiskunde die er bestaan. Daarom is het eigenlijk een beetje vreemd dat pas in de zevende eeuw na Christus iemand met een definitie voor het getal nul kwam en rekenregels opstelde hoe er met het getal nul gerekend moest worden. Alle wereldrijken daarvoor zoals het Oud-Perzische Rijk, de Grieken (kenden wel de stelling van Pythagoras maar hadden geen getal 0); en het Romeinse rijk kwamen op en gingen ten onder zonder dat ze over rekenregels met betrekking tot het getal nul beschikten. (Misschien gingen ze daarom wel ten onder.)

000000-klokAls men u deze klok probeert te verkopen als een originele tweeduizend jaar oude Romeinse klok, trap er niet in! De Romeinen kenden niet het cijfer 0. foto Philip James; Wikipedia

De persoon die als eerste het getal nul definieerde en er rekenregels voor bedacht, was Brahmagupta. Hij leefde van 598 – 668 in wat nu India is en was een wiskundige en astronoom. Hij schreef over het getal nul in zijn boek Brahma-sphuta-siddhanta dat in 628 verscheen. Brahmagupta schreef in dat boek niet alleen over het getal nul, maar ook over hoe om te gaan met negatieve getallen. Ook schreef hij in zijn boeken over allerlei astronomische zaken.

Brahmagupta

De mensheid heeft het heel lang zonder het getal nul gedaan. Pas in 628 komt Brahmagupta met het getal 0 op de proppen. Daarvoor wordt het begrip nul niet als een getal maar alleen als een ‘plaatswijzer’ in positionele getallenstelsels gebruikt.

Positionele getallenstelsels zijn getallenstelsels waar de positie van het cijfer in het getal mede de waarde bepaalt. De positie in het getal geeft aan of het bijvoorbeeld om een duizendtal, een honderdtal of een tiental gaat. Als een bepaalde positionele waarde in een getal niet voorkomt – er zijn bijvoorbeeld geen tientallen – dan wordt op die plaats een nul gezet, de zogenaamde plaatswijzer (ook wel “plaatsvervangende nul’ genoemd). Dit om de posities van de andere cijfers te behouden. Zo geeft de nul in het getal 201 aan dat er geen tientallen zijn, maar weten we door de aanwezigheid van de 0 wel dat de 2 staat voor 200 en niet voor 20.

Het gebruik van een ‘plaatswijzer’ in positionele getallenstelsels is haast altijd noodzakelijk. Gebruik je die ‘plaatsvervangende nul’ namelijk niet, dan weet je bijvoorbeeld niet of met 77 het getal 7700, 7007, 707, 77 of misschien wel 77.000.000 wordt bedoeld. Soms kan men de plaatsvervangende nullen weg laten, vooral aan het einde van een getal, als de context duidelijk maakt wat wordt bedoeld. Als iemand bijvoorbeeld vraagt “wat kost dat huis?” en de ander antwoordt “325” dan zullen er weinig mensen zijn die denken dat het huis 325 euro kost in plaats van 325.000 euro.

Plaatswijzers in getallen is iets wat de oude Egyptenaren, de Babyloniërs en de Maya’s ook al kennen. Alleen gebruiken ze daarvoor niet het symbool 0. Zo maken de Babyloniërs in 450 voor Christus gebruik van lege plekken (spaties) om aan te geven dat die positionele waarde in het getal niet voor komt. Op die positie is er “niets”; vandaar de lege plaats. Later gaan ze over op een teken dat nog het meest weg heeft van twee omvallende drankglazen. Andere culturen gebruiken cirkels, punten en allerlei kriebeltjes als plaatswijzers..

9. brahm plaatswijzer voorbeelden

Vier voorbeelden van een plaatswijzer zoals deze in de oudheid werd gebruikt. Van links naar rechts: De omvallende glazen van de Babyloniërs, een Chinese cirkel, een Indiaanse punt en het teken dat in de Mayo-cultuur als plaatswijzer werd gebruikt.

Naast positionele getallenstelsels zijn er ook andere getallenstelsels. Zo hanteren de oude Grieken een niet-positioneel getallenstelsel, gebaseerd op hun alfabet, en kennen daarmee ook geen plaatsvervangende nul. Een getal met de waarde 0 kennen ze dan ook niet.

9 bhar griekse getallen

De Grieken houden zich ook niet zo bezig met algebra, maar vooral met geometrie. Hun getaltheorie is dan ook gebaseerd op geometrie (de lengte van lijnen). Hun bekende formules zoals bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras over de zijden van een rechthoekige driehoek (A² + B² = C²) zijn dan ook geometrisch georiënteerd.

Dan de nul als getal. Voor Brahmagupta is  er geen getal 0. Je had niets, niks, geen, leeg, enzovoorts, maar geen getal 0. Het idee van ‘0’ als getal lijkt oh zo simpel, maar het vraagt om een andere manier van denken. Zo kan je niet tot nul tellen. Het is een stap die boven het tellen uitstijgt. Van “ik heb geen koeien” tot “Ik heb nul koeien”. Die stap hebben veel volken in de oudheid niet gemaakt.

Zo hebben de Romeinen – hun getallenstelsel met I, V, X, L, C, D en M is overigens een voorbeeld van een niet-positioneel getallenstelsel – geen symbool voor het getal nul. Er bestaat ook geen jaar 0. Het jaar 1 voor Christus wordt gevolgd door het jaar 1 na Christus.

De eerste die met een definitie van het getal nul als getal op de proppen komt en er rekenregels voor opstelt, is  in 628 de dan dertigjarige Brahmagupta.

Of hij daadwerkelijk de eerste was, is niet zeker. Zo is er daar het zogeheten Bakhshali Manuscript. Dit is een wiskundig document van meerdere pagina’s  geschreven op berkenschors.

9. brahm oud manucriptEén pagina uit het manuscript. Afbeelding  Universiteit van Oxford.

Het werd in 1881 gevonden in de buurt van Peshawar. Sinds 1902 bevindt zich het in de Universiteit van Oxford. Carbondateringstechniek laat zien dat de pagina’s van dit document dateren uit een periode die zo’n vijf eeuwen beslaat, van de derde tot de negende eeuw. Op sommige pagina’s is een punt te zien die als het getal nul gezien kan worden.

9. brahm plaatswijzer 2Een punt als een plaatswijzer in het Bakhshali Manuscript.

Brahmagupta wordt in ieder geval gezien als degene die als eerste uitgebreid het getal nul beschrijft en er regels voor heeft op gesteld.

Over de persoon Brahmagupta is erg weinig bekend. Hoe hij er bijvoorbeeld uitzag is niet bekend. Je ziet wel eens plaatjes van de man, maar die afbeeldingen zijn hoogst waarschijnlijk afkomstig uit iemands fantasie.

9bram potrettem

Twee totaal verschillende Brahmagupta ‘s

Brahmagupta is een Hindoe en zijn vader zou iemand met de naam Jisnugupta zijn geweest. Brahmagupta is vermoedelijk in het jaar 598 geboren in Bhillamala, tegenwoordig bekend onder de naam Bhinmal, een stad in het noordwesten van het huidige India. (Soms wordt ook wel Ujjain als zijn geboortestad genoemd.)

9. brahm Bhinmal

De rode stip op deze kaart is Bhinmal

Bhillamala is in ieder geval de stad waar Brahmagupta het grootst gedeelte van zijn leven heeft doorgebracht en waar hij zich bezig houdt met de wiskunde en astronomie. Het is in die tijd de hoofdstad van het rijk van de Gurjara-dynastie. Ook kent de stad in die tijd een belangrijke wetenschappelijke school, één van de vier in India. In Bhillamala  houdt men zich vooral met astronomie bezig. Het is in Bhillamala waar Brahmagupta het boek schrijft waarin hij zijn rekenregels voor het getal nul vermeldt.

9. brahm boek

Een versie van het boek uit 1966

In het boek definieert Brahmagupta het getal nul als de uitkomst die je krijgt  als je van een getal hetzelfde getal aftrekt. Hij noemt deze uitkomst overigens geen ‘nul’, maar śūnya, een woord dat vandaag de dag nog steeds in India wordt gebruikt en dat niets betekent. (Om misverstanden te voorkomen, het betekent wel iets namelijk het woordje ‘niets’.) Vervolgens geeft hij ook rekenregels hoe je met dit getal śūnya moet rekenen.

Zo stelt hij (vrij vertaald) de volgende rekenregels op.

  • Als je bij een getal X nul optelt, dan verandert dat getal niet; (X+0 = X)
  • Als je van een getal X nul afhaalt, dan verandert dat getal niet; (X-0) = X)
  • Nul plus nul is nul; (0+0 = 0)
  • Nul minus nul is nul; (0-0 = 0)
  • Als je een getal X met 0 vermenigvuldigt, dan bedraagt de uitkomst 0; (X*0 = 0)
  • Als je een getal X door 0 deelt, dan bedraagt de uitkomst X/0; (Brahmagupta had geen oplossing voor deze berekening, hetgeen ook logisch is want delen door nul kan niet.)
  • Als je nul deelt door nul, dan bedraagt de uitkomst 0; (0/0 = 0). Brahmagupta geeft voor 0/0 wel een oplossing (namelijk 0) maar deze oplossing is fout. Delen door nul kan niet of zoals het ezelsbruggetje luidt: ‘Delen door nul is flauwekul’.

Brahmagupta geeft ook rekenregels hoe je met negatieve getallen moet omgaan, alleen noemt hij deze niet ‘negatieve getallen’ maar spreekt hij over ‘schulden’. Positieve getallen noemt hij ‘bezittingen’.

Zo poneert hij het volgende over eventuele tekenwisselingen (van plus naar min e.d.) bij berekeningen:

  • Een positief getal gedeeld door een positief getal geeft een positief getal
  • Een negatief getal gedeeld door een negatief getal geeft een positief getal
  • Een positief getal gedeeld door een negatief getal geeft een negatief getal
  • Een negatief getal gedeeld door een positief getal geeft een negatief getal
  • Een positief getal vermenigvuldigt met een positief getal geeft een positief getal
  • Een positief getal vermenigvuldigt met een negatief getal geeft een negatief getal
  • Een negatief getal vermenigvuldigt met een negatief getal geeft een positief getal

Vooral deze laatste regel (“min maal min is plus”) kunnen we als een doorbraak zien in het denken van hoe om te gaan met negatieve getallen. Het concept van negatieve getallen was al langer bekend, zo kennen de oude Grieken ook al negatieve getallen. Wel had men in de oudheid moeite met rekenen met negatieve getallen. Dit omdat men vooral in visuele eenheden denkt (“iemand heeft drie koeien; ik haal er vijf weg; hoeveel koeien heeft de man nog over?”)

Vooral met het vermenigvuldigen met negatieve getallen en met het delen door negatieve getallen had men problemen. Zo stelt bijvoorbeeld in de derde eeuw voor Christus de bekende Griekse wiskundige Diophantus in zijn boek ‘Arithmetica’ dat de vergelijking 4*X + 20 = 4 een absurde vergelijking is, dit omdat er geen oplossing is met een positief getal. Tegenwoordig zouden we gewoon zeggen: X = -4.

Ook geeft Brahmagupta aan wat er met het teken van een getal gebeurt in relatie met het getal nul.

  • Een positief getal minus nul blijft een positief getal
  • Een negatief getal minus nul blijft een negatief getal
  • Nul minus een positief getal wordt een negatief getal
  • Nul minus een negatief getal wordt een positief getal

Behalve door zijn mijmeringen over het getal nul en de negatieve getallen is Brahmagupta, naast oplossingen die hij geeft voor een aantal specifieke kwadratische vergelijkingen, ook bekend geworden door een drietal wiskundige formules. De eerste twee betreffen de uitkomsten van de som van kwadraten van getallen respectievelijk de som van derde machten.

9. brahm formule

Brahmagupta geeft geen bewijs voor deze formules, maar ze kloppen wel. (Stel bijvoorbeeld n=4; in de bovenste formule staat dan: 1+4+9+16 = (4*5*9)/6 = 30.)

Ook is hij de bedenker van het naar hem genoemde formule van Brahmagupta dat de oppervlakte aangeeft van een koordenvierhoek, d.w.z. een vierhoek waarvan de vier punten op een cirkel liggen.

9 bhea cirkel

Een koordenvierhoek met punten A, B, C en D en zijden p, q, r en s.

Volgens de formule van Brahmagupta is de oppervlakte van deze vierhoek gelijk aan:

9. brahm formule.2

waarbij t gelijk is aan (p + q + r +s) / 2, oftewel de halve omtrek van de vierhoek.

(De formule van Heron – zie daarvoor het portret over hem – waarmee je de oppervlakte van een driehoek kan bepalen is uit deze formule af te leiden.)

Brahmagupta is naast wiskundige ook erg actief als astronoom. Hij is een tijd lang het hoofd van de sterrenwacht van Ujjain, een stad op zo’n 500 km afstand van Bhillamala. Hij schrijft ook veel over  astronomie, zelfs meer dan over de wiskunde. Zo schrijft hij dat de Aarde rond is en een omtrek heeft van 36.000 km (hij schat hiermee de omtrek van de Aarde zo’n 10% te laag in; in werkelijkheid bedraagt de omtrek van de Aarde 40.075 km).

Zijn inschatting van de duur van een zonnejaar is wel opmerkelijk nauwkeurig. Hij stelt een zonnejaar gelijk aan 365 dagen, 6 uur en 5 minuten. Hij zit hiermee maar 16 minuten mis. (Een zonnejaar duurt 365 dagen, 5 uur en 49 minuten.) Wel denkt hij ten onrechte dat de aarde stil staat en dat de zon om de aarde draait. Wel weer juist is zijn beredenering dat de maan veel dichter bij de aarde staat dan de zon. Ook schrijft  hij uitgebreid over de bewegingen van de planeten en zons- en maansverduisteringen.

Het jaar van zijn overlijden staat niet precies vast. Meestal wordt aangenomen dat hij in 670 op 72-jarige leeftijd overlijdt. Maar met zijn overlijden, verdwijen niet zijn ideeën over het getal nul. Deze verspreiden zich het eerst over China en Arabië. Pas zo’n 500 jaar later met de introductie van de Indisch-Arabische getallennotatie in Europa komt de nul in Europa.

In Europa wordt de nul in 1202 geïntroduceerd door Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci. De Europeanen hebben aanvankelijk wel wat moeite met het getal 0. Zo verbiedt in 1299 het stadbestuur van Florence zelfs het gebruik van het cijfer 0. Ze vinden het cijfer 0 niet alleen fraudegevoelig – je kan een 0 zo in een 9 veranderen – maar nul is ook de poort naar de negatieve getallen en negatieve getallen staan voor schulden en schulden zijn slecht. Gelukkig vind de maatregel van het stadsbestuur van Florence geen navolging, want anders hadden we vandaag de dag geen computers gehad.

Voor wat betreft de ontwikkeling van de naam van het getal nul, de Arabieren noemen de nul eerst ‘sifr’ (leeg); later wordt dat ‘safira’ dat net zoals het Indiaanse woord śūnya ‘niets’ betekent. In Italië wordt dat ‘safira’ door Fibonacci vertaald als ‘zephyrum’, later wordt dat ‘zefiro’. Wiskundigen in Venetië korten dat vervolgens in tot ‘zero’, welk woord ook door de Fransen en de Engelsen wordt overgenomen.

Tot slot, er wordt wel eens gezegd dat iets van nul en generlei waarde is, waarmee wordt aangegeven dat iets niets waard is, maar dat geldt beslist niet voor Brahmagupta’s ideeën over het getal nul. Zijn nul is de basis van de moderne wiskunde, waarmee overigens niet wordt gezegd dat de wiskunde op “niets” is gebaseerd.

 

My WordPress Blog